Darstellende Matrix bzgl. einer Basis

18.03.2019, 23:11	StudentMitFragen	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellende Matrix bzgl. einer Basis Ich dachte, ich hätte das Thema soweit verstanden, allerdings hapert es dann doch bei einer Aufgabe: Lineare Abbildung $\begin{eqnarray} L: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3, \end{eqnarray}$ sei gegeben mit: $\begin{eqnarray} L(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gesucht ist die darstellende Matrix bzgl. der Standardbasis. Mir ist bei der Aufgabe aufgefallen, dass mir das Verständnis fehlt und ich bisher nur ein "Rezept" runtergerattert habe. Wenn die Dimensionen der Ziel- und Definitionsmenge übereinstimmen und ich eine Basis gegeben habe und in eine andere Basis transformieren soll, verstehe ich, wie man aufs Ergebnis kommt (Beispiel Wikipedia-Artikel "Basiswechsel (Vektorraum)", Punkt 5 "Beispiel". Hier verstehe ich es nicht ganz. Kann mir jemand Schritt für Schritt weiterhelfen, damit ich es einmal wirklich kapiere? Wäre dankbar.
19.03.2019, 08:37	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Darstellende Matrix bzgl. einer Basis Was du brauchst, sind die Bilder der Vektoren aus der Standardbasis des R². Da $\begin{eqnarray} L \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ gegeben ist, fehlt noch $\begin{eqnarray} L \left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ . Jetzt überlege mal, wie du dieses aus den gegebenen Bildern zusammenstöpseln kannst.
19.03.2019, 09:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder ganz formal geschrieben (in Hinblick auf kompliziertere Ausgangsvektoren): $\begin{eqnarray} L(x)=Ax \end{eqnarray}$ mit Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} A\in \mathbb{R}^{3\times 2} \end{eqnarray}$ , folglich gilt $\begin{eqnarray} A\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 7 \\ 5 & 11 \end{pmatrix}\quad \Longrightarrow \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 7 \\ 5 & 11 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray}$ .

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