Zweite Ableitung - Formel

19.03.2019, 21:26

Der_Apfel

Zweite Ableitung - Formel

Eine Standardformel für das Berechnen der 1. Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ lautet wie folgt:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ .

Für die 2. Ableitung kann man das wie folgt schreiben:

$\begin{eqnarray*} f''(x_0)=\frac{f'(x_0+h) - f'(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ .

Nun kann man die beiden Formeln ineinander einsetzen, nach dem Skript der Vorlesung kommt da raus:

$\begin{eqnarray*} f''(x_0) = \frac{f(x_0+h) - 2f(x_0) + f(x_0 - h)}{h^2} \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe nun leider nicht, wie man da drauf kommt verwirrt

Ich hätte das so gemacht:

$\begin{eqnarray*} f''(x_0) = \frac{\frac{f(x_0 + h + h) - f(x_0 + h)}{h} - \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}}{h} \end{eqnarray*}$

und weiter:

$\begin{eqnarray*} f''(x_0) = \frac{\frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0 + h)}{h} - \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x_0) = \frac{f(x_0 + 2h) - 2\cdot f(x_0 + h) + f(x_0)}{h^2} \end{eqnarray*}$

Mag mir da jemand auf die Sprünge helfen, warum meine Lösung anders und auch irgendwie falsch aussieht?

20.03.2019, 13:06

Huggy

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RE: Zweite Ableitung - Formel
Zunächst mal fehlt bei dir überall auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Der_Apfel
Mag mir da jemand auf die Sprünge helfen, warum meine Lösung anders und auch irgendwie falsch aussieht?

Deine Lösung ist nicht falsch. Es können ja ganz unterschedliche Funktionen gegen denselben Grenzwert konvergieren. So ist z. B.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}e^x=\lim_{x \to 0}e^{2x}=\lim_{x \to 0}e^{x^2}=1 \end{eqnarray*}$

Daher lassen sich auch aus der Definition der Ableitung durch

$\begin{eqnarray*} (1) \quad f'(x_0)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

diverse unterschiedlich aussehende Grenzwertformeln für die 1. und höhere Ableitungen herleiten. Ersetzt man in (1) $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} -h \end{eqnarray*}$ , bekommt man

$\begin{eqnarray*} (2) \quad f'(x_0)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h} \end{eqnarray*}$

Durch Addition von (1) und (2) bekommt man

$\begin{eqnarray*} (3) \quad f'(x_0)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h) - f(x_0-h)}{2h} \end{eqnarray*}$

Wendet man nun diese Formel auf $\begin{eqnarray*} f''(x_0) \end{eqnarray*}$ auf der linken Seite an, kommt man zu der Skriptformel, wenn man zum Schluss noch $\begin{eqnarray*} 2h \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ umbenennt.

20.03.2019, 14:43

HAL 9000

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Anmerkung: Die Aussage hier lautet ja

Zitat:

Falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ zweimal differenzierbar ist, dann existiert der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h)}{h^2} \end{eqnarray*}$ und ist gleich $\begin{eqnarray*} f''(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Eine Umkehrung in der Form "Existiert $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h)}{h^2} \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ zweimal differenzierbar" ist übrigens falsch, man denke nur mal an die Signum-Funktion

$\begin{eqnarray*} \operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} -1 & \;\mbox{für}\;x<0\\ 0 & \;\mbox{für}\;x=0\\ 1 & \;\mbox{für}\;x>0\end{cases} \end{eqnarray*}$

an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ .

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