Magisches Quadrat 3x3

20.03.2019, 10:28

Kathreena

Magisches Quadrat 3x3

Ein 3 × 3 Quadrat wird magisches Quadrat genannt, wenn jede Zahl von 1
bis 9 genau einmal vorkommt und sowohl die Summe jeder der 3 Zeilen, als auch die Summe jeder
der 3 Spalten, als auch die Summen der beiden Diagonalen gleich sind.

a.) Welchen Wert müssen alle oben genannten Summen haben?

b.) Formulieren Sie die Summen-Eigenschaften bzgl. Spalten-, Zeilen- und Diagonalsummen, die
ein magischen Quadrat haben muss, als lineares Gleichungssystem

Meine Idee:

a.) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot \sum\limits_{k=1}^{9} k =15 \end{eqnarray*}$

Bei b.) versteh ich nun nich ganz was gemeint ist.
Hab da jetzt nur alle Gleichungen aufgeschrieben, aber als Gleichungssystem lässt sich das Magische Quadrat ja nicht lösen, weil es eine Gleichung zuwenig gibt, also wo ist der sinn ?

b.)
Zeilen:
a+b+c=15
d+e+f=15
g+h+i=15

Spalten:
a+d+g=15
b+e+h=15
c+f+i=15

Diagonalen:
a+e+i=15
c+e+g=15

Oder ist was anderes damit gemeint?

20.03.2019, 11:24

Elvis

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Das ist soweit richtig. Wie jedes lösbare LGS lässt sich auch dieses LGS selbstverständlich mit dem Gauß-Algorithmus lösen, und die Menge der Lösungen ist eine Nebenklasse des Untervektorraums von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{15} \end{eqnarray*}$ , der die Lösungen des homogenen LGS enthält. Magische Quadrate sind allerdings nur Lösungen, in denen die Zahlen von 1 bis 9 genau einmal auftreten.

Als Matrix sieht das LGS so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 15 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & 15 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & 15 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & | & 15 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & | & 15 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & | & 15 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 15 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & | & 15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In der Praxis löst man nicht das LGS, wenn man die magischen Quadrate berechnen will, sondern formuliert und löst ein ganzzahliges Optimierproblem. Darin treten die Gleichungen auf und als weitere Nebenbedingungen müssen die Variablen ganzzahlig zwischen 1 und 9 und paarweise verschieden sein.

21.03.2019, 09:53

Kathreena

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Danke

21.03.2019, 11:39

Huggy

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RE: Magisches Quadrat 3x3

Zitat:

Original von Kathreena
Hab da jetzt nur alle Gleichungen aufgeschrieben, aber als Gleichungssystem lässt sich das Magische Quadrat ja nicht lösen, weil es eine Gleichung zuwenig gibt, also wo ist der sinn ?

Tatsächlich fehlen 2 Gleichungen, weil die 8 Gleichungen nicht linear unabhängig sind. Immerhin ergibt das lineare Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} e=5 \end{eqnarray*}$

21.03.2019, 12:38

sixty-four

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Für Magische Quadrate mit einer ungeraden Anzahl von Zeilen und Spalten gibt es eine Konstruktionsmethode:
Du baust an allen Seiten des Quadrats eine Treppe an (siehe Bild).
Dann schreibst du die Zahlen von 1 bis $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ einfach diagonal in die Zellen. Alles was jetzt ausserhalb des eigentlichen Quadrates steht, wird in die freigebliebenen Zellen auf der gegenüberliegenden Seite übertragen. Fertig.

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