Kompliziertes, uneigentliches Integral

21.03.2019, 00:43	LieberMalNachfragen	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompliziertes, uneigentliches Integral $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} \! \frac{sin (x)}{x(1+x)} \, dx \end{eqnarray}$ Verlangt ist gar nicht einmal, dass ich das explizit löse, sondern die Frage ist, ob das uneigentliche Integral überhaupt existiert. Ich habe es mal mit Partialbruchzerlegung versucht, aber mich bringt das nicht wesentlich weiter. $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} \! \frac{sin (x)}{x(1+x)} \, dx = \int_{0}^{\infty} \! \frac{sin (x)}{x} \, dx - \int_{0}^{\infty} \! \frac{sin(x)}{1+x} \, dx \end{eqnarray}$ Mit welcher Methode sieht man, ob das uneigentliche Integral existiert, ohne es lösen zu müssen?
21.03.2019, 08:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral aufteilen: Der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray}$ garantiert, dass der Integrand in der Nähe des linken Integrationsrandes 0 beschränkt bleibt, damit kann an dieser Seite nichts passieren, es existiert somit $\begin{eqnarray} \int\limits_0^1 \frac{\sin(x)}{x(1+x)} ~ \dd x \end{eqnarray}$ . Für den Rest $\begin{eqnarray} \int\limits_1^{\infty} \frac{\sin(x)}{x(1+x)} ~ \dd x \end{eqnarray}$ kann man via Abschätzung $\begin{eqnarray} \left\| \frac{\sin(x)}{x(1+x)} \right\| \leq \frac{1}{x(1+x)} < \frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ die Integrierbarkeit sehen.

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