Taylorreihe bestimmen

23.03.2019, 13:45	hedgehog19	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe bestimmen Hallo Ich habe die Aufgabe die Taylorreihe mit Entwicklungspunkt 0 zu folgender Funktion zu bestimmen: $\begin{eqnarray} \frac{1- \cos(4x)}{2x} \end{eqnarray}$ Ich habe den Term in diese Form gebracht $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-(1-2x)}- \cos(4x)\cdot \frac{1}{1-(1-2x)} \end{eqnarray}$ und gedacht ich könnte mir das mit den bekannten Taylorreihen von cos(x) und der geometrischen Reihe herleiten, also $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \left(1-2x\right)^{n}-\sum\limits_{n=0}^{\infty } (-1)^{n}\cdot \frac{4x^{2n}}{(2n)!}\cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(1-2x\right)^{n} \end{eqnarray}$ , aber der Versuch die Summenglieder einzeln miteinander zu verrechnen ergab nicht wirklich was Sinnvolles. Die ganze Funktion fünfmal abzuleiten erscheint mir aber auch nicht grade einfach. Weiß jemand, wie man an so eine Aufgbe am besten rangeht?
23.03.2019, 14:26	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Substituiere $\begin{eqnarray} 4x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} t=4x \end{eqnarray}$ Schreibe im Zähler die Potenzreihe von $\begin{eqnarray} cos(t) \end{eqnarray}$ Stelle fest, dass der Summand $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ damit entfällt und das $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ im Nenner gekürzt werden kann. Damit hast du die Potenzreihe für t. Jetzt Rücksubstitution.
23.03.2019, 15:30	hedgehog19	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank für die schnelle Antwort!

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