Zahlentheorie (Teilbarkeit)

25.03.2019, 09:01

tiamina546

Zahlentheorie (Teilbarkeit)

Meine Frage:
Hallo zusammen.
In meinem Skript gibt es einen einfachen Beweis, in dem Eigenschaften der Teilbarkeit genutzt werden. Allerdings hänge ich bereits im ersten Schritt und bin mir nicht sicher, ob das so überhaupt stimmen kann.

Lemma: Sind x,y $\begin{eqnarray*} \in \Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=p \end{eqnarray*}$ , so ist ggt(x,p)=ggt(y,p)=1.

Beginn des Beweises: Wir nehmen an, dass $\begin{eqnarray*} ggt(x,p) \neq 1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} p|x \end{eqnarray*}$ .

Der Rest des Beweises zeigt dann, dass ein Widerspruch auftritt und ggt(x,p) 1 sein muss (s. Anhang falls Interesse besteht).

Meine Ideen:
Mein Problem damit ist der Teil $\begin{eqnarray*} p|x \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet doch, dass es ein $\begin{eqnarray*} n \in \Z \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} p*n=x \end{eqnarray*}$ . Also x > p.
Aber wegen $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=p \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{p-y^2}<p \end{eqnarray*}$ . Oder etwa nicht? Wo liegt mein Denkfehler?

25.03.2019, 09:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von tiamina546
Das bedeutet doch, dass es ein $\begin{eqnarray*} n \in \Z \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} p*n=x \end{eqnarray*}$ . Also x > p.

Nein: Es könnte ja auch n=0, und damit x=0 sein.

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