Affinen Unterraum bestimmen

27.03.2019, 14:41

Alina H.

Affinen Unterraum bestimmen

Meine Frage:
Folgende Aufgabe möchte ich lösen:

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist der affine Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{2} ^{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V_{x} \end{eqnarray*}$ der zugrundeliegende Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{2} ^{3} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} U \subset V_{x} \end{eqnarray*}$ ist der lineare Unterraum und wird durch dem Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \in V_{x} \end{eqnarray*}$ erzeugt.

Die Aufgabe ist nun alle affinen Unterräume $\begin{eqnarray*} Y \subset X \end{eqnarray*}$ darzustellen. Es gilt $\begin{eqnarray*} V_{y} = U \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich fühle mich im Bereich der affinen Geometrie noch absolut nicht sicher und frage mich, ob mein Ansatz überhaupt richtig ist.

Mein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V_{x} \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} U=< \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$

Es gilt, dass der affine Unterraum die gleiche Dimension, wie der lineare Unterraum hat. Somit ist die Dimension 1 und nach Definition eine Ebene.

Mein affiner Unterraum müsste ja die Form $\begin{eqnarray*} Y:=v+U=\{v+u | u \in U \} \end{eqnarray*}$ haben.

Somit kommen Unterräume der Form $\begin{eqnarray*} Y= \{ v + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} | \lambda \in \mathbb{F}_{2} ^{3} \} \end{eqnarray*}$ in Frage.

Nun weiß ich aber nicht so richtig weiter. Muss ich ein Gleichungssystem aufstellen, um v zu erhalten? v ist ja ein Verschiebungsvektor und könnte doch dann alles sein mit Einträgen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{2} ^{3} \end{eqnarray*}$ . Oder muss eine bestimmte Bedingung erfüllt sein? Ich vermute fast, dass ich auf einem falschen Dampfer bin. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich hier weiter gehen sollte?

Vielen Dank schonmal und liebe Grüße

27.03.2019, 18:35

Elvis

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RE: Affinen Unterraum bestimmen

Zitat:

Original von Alina H.
Somit kommen Unterräume der Form $\begin{eqnarray*} Y= \{ v + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} | \lambda \in \mathbb{F}_{2} ^{3} \} \end{eqnarray*}$ in Frage.

Besser: $\begin{eqnarray*} Y_v= \{ v + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} | \lambda \in \mathbb{F}_{2} \} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb{F}_{2} ^{3} \end{eqnarray*}$

Anschauung: man wählt einen Stützpunkt $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und addiert daran den Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . Achtung: Diese affinen Unterräume sind nicht alle verschieden, denn eine Gerade geht durch mehrere Punkte.

Ein affiner Unterraum der Dimension 1 heißt übrigens Gerade und nicht Ebene.

27.03.2019, 19:25

Math_2017

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RE: Affinen Unterraum bestimmen
Hallo Elvis,
danke schonmal für deine Hilfe und Anmerkungen. Bin gerade selbst ein wenig verwundert, wieso ich Ebene geschrieben habe verwirrt

Meine angegebene Menge kann ja auch schließlich nur eine Gerade sein. Beim $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{2}^3 \end{eqnarray*}$ ist mir wohl ein Kopierfehler unterlaufen und habe es hinterher nicht bemerkt. Also danke :-)

Ok, also ich bin jetzt hingegangen und habe alle möglichen Varianten für v mal durchgespielt.
Dabei ist mir aufgefallen, dass immer zwei Mengen identisch sind und somit den selben affinen Unterraum beschreiben.

Ich komme also auf folgende vier Unterräume:

$\begin{eqnarray*} Y_{v,1} = \{ \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ a \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} | \lambda,a \in \mathbb{F}_{2} \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y_{v,2} = \{ \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ b \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} | \lambda,a,b \in \mathbb{F}_{2} \wedge a\neq b \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y_{v,3} = \{ \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ b \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} | \lambda,a,b \in \mathbb{F}_{2} \wedge a\neq b \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y_{v,4} = \{ \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ a \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} | \lambda,a \in \mathbb{F}_{2} \} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so oder habe ich etwas übersehen?

27.03.2019, 19:33

Math_2017

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RE: Affinen Unterraum bestimmen
Bitte nicht wegen dem Account verwirren lassen. Der gehört meiner Kommilitonin. Sitzen zusammen an diesem Problem und sie hatte sich vorhin über meinen Laptop angemeldet, weil sie noch eine andere Frage gestellt hatte. Da war sie jetzt aber noch eingeloggt. Sorry dafür, aber das sollte ja kein Problem sein smile

27.03.2019, 21:39

Elvis

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Dein Ergebnis ist plausibel, bis zum Beweis des Gegenteils bin ich davon überzeugt, dass du alles richtig gemacht hast.

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