Schnittmultiplizität, Neilsche Parabel

27.03.2019, 16:23

Lilly.

Schnittmultiplizität, Neilsche Parabel

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgendes Beispiel, was ich nicht so ganz verstehe:
gegeben:
- eine Neilsche Parabel C mit Minimalpolynom F= (x2)^3 + X0*(x1)^2
DqF = q0(X1)^2 + 2q1*x0x1 + 3 q2*(x2)^2
q= (q0, q1, q2) ist einfach nur ein beliebiger Punkt.
Bis hierhin verstehe ich noch alles.

Sei jetzt p= (1,0,0), hier hat dann C die Spitzentangente T = V(x1).
Frage 1: p ist hier wahrscheinlich ein beliebiger Punkt oder, aber
wozu ist der notwendig, bis jetzt hatten wir doch nur q?
Frage 2: was ist eine Spitzentangente und wieso ist die V(x1)
ich weiß dass C = V(F) aber wieso steht dann anstelle von F nicht
alles was oben gegeben ist, sondern nur x1?

Weiter im Text:
Wenn q darauf liegt, besteht die Polare aus 2 Geraden durch p und die Schnittmultiplizität von der Polaren und C = 4.
Frage 3: worauf soll q liegen, ist damit gemeint dass q auf p liegt?
Frage 4: Wie bestimme ich die Schnittmultiplizität?

Wäre wirklich total toll, wenn mir jemand ein wenig helfen könnte, ich bin für jede Antwort dankbar.
Liebe Grüße Lilly.

Meine Ideen:
zur Schnittmultiplizität:
Habe mal gelesen, dass man nur den Grad der Polaren und der algebraischen Kurve multiplizieren muss. Aber dass passt ja nicht unglücklich

27.03.2019, 21:20

KeinGastMehr

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Hallo,

erstmal ist dein Beitrag relativ schwer zu lesen und wirft Fragen auf:

Ist $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ als Kurve in $\begin{eqnarray*} \mathbb P^2_{\mathbb C} \end{eqnarray*}$ zu verstehen? Den Begriff Minimalpolynom habe ich in diesem Kontext auch noch nicht gehört.

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} D_q F \end{eqnarray*}$ sicherlich nicht so definiert wie du geschrieben hast, sondern bestimmt als die Nullstellenmenge des Polynomausdrucks, den du genannt hast.

(Die Neilsche Parabel definiert man oft auch als $\begin{eqnarray*} V(X_2^3 - X_0X_1^2) \end{eqnarray*}$ , steht in dem Polynom $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ also ein Minus statt einem Plus?)

Die folgende Diskussion geht davon aus, dass die Antwort auf die erste Frage "ja" ist. Grundsätzlich sind deine Fragen sehr unvollständig gestellt und deuten darauf hin, dass uns nicht alle Informationen zur Verfügung gestellt wurden. Zum Beispiel Frage 3; du solltest doch selbst aus dem Kontext sehen können, worauf $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ liegen soll. Wir haben hier keine Glaskugel, mit der wir sowas erraten können. Ich glaube nicht, dass ein Professor/Übungsleiter das so aufgeschrieben hat.

Schreiben wir das ganze mal schön auf:

$\begin{eqnarray*} C = \{ F = 0\}, F = X_2^3+ X_0X_1^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_qF = \{q_0X_1^2 + 2q_1X_0X_1 + 3q_2X_2^2\}, q = (q_0:q_1:q_2). \end{eqnarray*}$

Zu Frage 1:
Nein, $\begin{eqnarray*} p = (1:0:0) \end{eqnarray*}$ , steht doch da. Da ganze hat mit $\begin{eqnarray*} D_q F \end{eqnarray*}$ nichts zu tun.

Zu Frage 2:
Ich vermute, dass damit die/eine Tangente am singulären Punkt $\begin{eqnarray*} p = (1:0:0) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ gemeint ist, wobei $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ eine Tangente an $\begin{eqnarray*} p \in C \end{eqnarray*}$ ist, falls $\begin{eqnarray*} m_p(C,T) > m_p(C) \end{eqnarray*}$ . (Es steht da nicht $\begin{eqnarray*} V(F) \end{eqnarray*}$ , weil auch nicht $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ da steht, sondern $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ...)

Zu Frage 3:
Das solltest du uns sagen.

Zu Frage 4:
Welche Schnittmultiplizität? Normalerweise betrachtet man Schnittmultiplizitäten in einem Punkt, und wie du schon festgestellt hast, passt es nicht, wenn man die "totale" Schnittmultiplizität betrachtet, also die Summe der Schnittmultiplizitäten in jedem Schnittpunkt von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_q F \end{eqnarray*}$ .

28.03.2019, 15:12

Lilly.

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Hallo,
schonmal vielen Dank für die Antwort.

Ja genau, C ist als Kurve zu verstehen.

$\begin{eqnarray*} D_{q} F = q_{0}x_{1}^{2} + 2q_{1}x_{0}x_{1}+3q_{2}x_{2}^{2} \end{eqnarray*}$

Wofür steht eigentlich die Abkürzung DqF? Differentialquotient im Punkt q von F?

Das Polynom F ist so richtig, wie ich es oben geschrieben habe. Also kein minus anstatt dem plus.

p ist der Punkt (1,0,0), in diesem hat C die Spitzentangente T= V(x1).
Wenn q auf dieser Tangente liegt, besteht die Polare PqC aus zwei Geraden durch p.
Die Schnittmultiplizität im Punkt p von C und PpC ist 4.
Die Polare besitzt einen Pol auf der Gerade V(x1).

Ich habe im Anhang ein Bild davon.
Ich verstehe nicht so ganz, wie man auf die Geraden X1, X2 und X3 kommt.
Ist der Punkt p diese Spitze der Neilschen Paarabel?
Die Schnittmultiplizität im Punkt p von C und PpC ist 4. Aber was ist PpC. Wir haben doch nur PqC.
Also wie muss ich rechnen dass ich auf die 4 komme?

28.03.2019, 18:48

KeinGastMehr

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Zitat:

Ja genau, C ist als Kurve zu verstehen.

Das war nicht genau meine Frage.

Zitat:

Wofür steht eigentlich die Abkürzung DqF? Differentialquotient im Punkt q von F?

Ich habe mich auch schon über die Notation gewundert. Üblicher wäre $\begin{eqnarray*} P_q F = P_q C \end{eqnarray*}$ , die Polare von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ . Sollte es von Anfang an $\begin{eqnarray*} P_q \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} D_q \end{eqnarray*}$ heißen? Es steht jedenfalls nicht für Differentialquotient.

Zitat:

Wenn q auf dieser Tangente liegt, besteht die Polare PqC aus zwei Geraden durch p.

Na siehst du, du hast dir deine Frage selbst beantwortet.

Zitat:

Die Polare besitzt einen Pol auf der Gerade V(x1).

Eine Singularität vielleicht (statt Pol)?

Zitat:

Ich habe im Anhang ein Bild davon.
Ich verstehe nicht so ganz, wie man auf die Geraden X1, X2 und X3 kommt.

$\begin{eqnarray*} X_1, X_2, X_3 \end{eqnarray*}$ sind keine Geraden, sondern allenfalls Veränderliche, und die heißen hier $\begin{eqnarray*} X_0,X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ . Du solltest dir langfristig ein wenig mehr Präzision angewöhnen. Insbesondere solltest du auch sagen, was die Rollen dieser Geraden sein sollen. Ich meine, ich kann ja noch zich andere Geraden in das Bild malen, die haben aber keine Bedeutung. Wenn du also fragen willst, wie man auf die im Bild eingezeichneten Geraden kommt (wahrscheinlich meinst du: wie man diese berechnet), musst du mir sagen, was diese Geraden überhaupt sein sollen.

Zitat:

Ist der Punkt p diese Spitze der Neilschen Paarabel?

Ja. Schau doch mal, du hast obigen geschrieben, dass $\begin{eqnarray*} q \in T = V(X_1) \end{eqnarray*}$ , und dass $\begin{eqnarray*} P_q C \end{eqnarray*}$ ein Geradenpaar durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist. Mit der Information kann man das auch aus dem Bild ablesen.

Zitat:

Die Schnittmultiplizität im Punkt p von C und PpC ist 4. Aber was ist PpC. Wir haben doch nur PqC.

Es verbietet dir doch keiner, $\begin{eqnarray*} P_qC \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} q = p \end{eqnarray*}$ zu berechnen. $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ war ein beliebiger Punkt, kann also auch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sein. Oder soll $\begin{eqnarray*} q \neq p \end{eqnarray*}$ gelten?

Zitat:

Also wie muss ich rechnen dass ich auf die 4 komme?

Wie habt ihr die Schnittmultiplizität zweier Kurven in einem Punkt denn definiert? Außerdem stimmt die Aussage nicht. Ich vermute (!), dass die eigentlich zu untersuchende Aussage

"Sei $\begin{eqnarray*} q \neq p \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Punkt auf der Tangente $\begin{eqnarray*} T = V(X_1) \end{eqnarray*}$ durch den Spitzenpunkt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Schnittmultiplizität von $\begin{eqnarray*} P_qC \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ ."

lauten soll, aber der Sinn ist nicht, ein Ratespiel zu veranstalten. Wenn es so ist, kann man obige Schnittmultiplizität entweder anhand der Definition der Schnittmultiplizität berechnen, oder "vom Bild ablesen".

28.03.2019, 21:54

Lilly.

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Zitat:

Ich habe mich auch schon über die Notation gewundert. Üblicher wäre (...)
Es steht jedenfalls nicht für Differentialquotient.

Es sollte von anfang an DqF heißen.
Ich habe aber gefunden, dass die Polare PqC allgemein definiert ist, als V(DqF).

Dazu gleich noch eine Frage:
DqF = $\begin{eqnarray*} q_0X_1^2 + 2 q_1X_0X_1 + 3 q_2 X_2^2 \end{eqnarray*}$
Die Polare PqC := V(DqF)
Wenn ich dazu jetzt die Polarengleichung haben möchte brauche ich ja V(DqF).
Wie genau sieht das aus?
V(DqF) = V( $\begin{eqnarray*} q_0X_1^2 + 2 q_1X_0X_1 + 3 q_2 X_2^2 \end{eqnarray*}$ )

Kann ich das weiter umschreiben?

Zitat:

X1,X2,X3 sind keine Geraden, sondern allenfalls Veränderliche, und die heißen hier X0,X1,X2. Du solltest dir langfristig ein wenig mehr Präzision angewöhnen. Insbesondere solltest du auch sagen, was die Rollen dieser Geraden sein sollen. Ich meine, ich kann ja noch zich andere Geraden in das Bild malen, die haben aber keine Bedeutung. Wenn du also fragen willst, wie man auf die im Bild eingezeichneten Geraden kommt (wahrscheinlich meinst du: wie man diese berechnet), musst du mir sagen, was diese Geraden überhaupt sein sollen.

Oh, genau, ich meinte natürlich X0, X1 und X2.
Ich weiß leider nicht was diese Geraden überhaupt sein sollen und hab auch keine Idee wie man auf diese kommt. Die Zeichnung gehört zu dem Beispiel, zu dem ich die Angaben alle oben gegeben hab.
Da steht ja auch X1 = 0. Setzt man das vlt in irgendeine Gleichung, also DqF ein ?
Es ist leider nichts beschrieben, wo die herkommen? unglücklich

Zur Schnittmultiplizität:
für zwei algebraische Kurven wurde es definiert, als degC1 mal degC2.
für eine algebraische Kurve und eine Gerade als eine Potenz, der Nullstellen des Polynoms. Das hatte ich nicht so ganz verstanden. unglücklich

Wie könnte ich dass denn aus dem Bild ablesen?

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