Vektorraum Axiome

27.03.2019, 22:04

Kathreena

Vektorraum Axiome

$\begin{eqnarray*} V=\mathbb R ^2, V=\left\{ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} | a,b \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Mit den Operationen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a+c+1 \\ b+d+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} \lambda a + \lambda -1\\ \lambda b + \lambda -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Überprüfe:

a.)Gibt es ein neutrales Element, also ein Element $\begin{eqnarray*} e \in V \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} v+e=v \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ ?

b.)Gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ ein inverses Element, also ein Element $\begin{eqnarray*} -v \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v+(-v) =e \end{eqnarray*}$ ?

Meine Idee:

Bin mir unsicher obs stimmt, weil das nur so kurz ist.

a.)
$\begin{eqnarray*} e=\begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+e_1+1 \\ b+e_2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+1 \\ b+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also nein, es gibt kein neutrales Element in V.

b.)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -a \\ -b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-a+1 \\ b-b+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also nein, es gibt auch kein Inverses Element.

27.03.2019, 23:24

zweiundvierzig

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Damit hast du nur gezeigt, dass gewisse Elemente nicht neutral bzw. Inverse (für ein bestimmtes als neutral angenommenes Element) sind.
Nimm zunächst an, es gäbe ein neutrales Element . Das liefert dir lineare Gleichungen für dessen Komponenten.

28.03.2019, 12:09

Kathreena

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Also so in der Art:
a.)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+e_1+1 \\ b+e_2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a+e_1+1=a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_1 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b+e_2+1=b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_2=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b.)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} (-a) \\ (-b) \end{pmatrix} = e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+(-a)+1 \\ b+(-b)+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-a)=-2-a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-b)=-2-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-v) = \begin{pmatrix} -2-a \\ -2-b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.03.2019, 13:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} (-a) \\ (-b) \end{pmatrix} = e \end{eqnarray*}$

Um Verwechslungen mit den üblichen Schreibkonventionen zu vermeiden, würde ich statt (-a) für das inverse Element eine andere Schreibweise bevorzugen, vielleicht $\begin{eqnarray*} a^* \end{eqnarray*}$ . smile

28.03.2019, 17:42

zweiundvierzig

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klarsoweits Kommentar schließe ich mich an. Ansonsten sieht alles gut aus! Wink

28.03.2019, 19:44

Kathreena

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Danke

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