Differentialgleichung Homogenisieren

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Mr.Bozo Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung Homogenisieren
Meine Frage:
Es geht um Folgende Aufgabe aus einer Altklausur (habe keine Lösung):

Ut-Uxx = sin(2*pi*x)+2sin(3*pi*x) ; U(0,x)=0

(Ut und Uxx sind jeweils die Ableitungen von u nach x/t )

Mit geeigneten Sturm-Liouville-Probleme und Produktansatz transformiere man das Problem auf eine
homogene partielle Differentialgleichung mit passenden Anfangsbedingungen.

Meine Ideen:
Mit Produktansatz (U=X(x)*T(t) komme Ich leider nicht weiter. Aufgrund der Anfangsbedinung ( U(x,0)=0 ) Komme Ich immer auf die Lösung U=0 da T=a*Tt (Tt ableitung T nach t) da bei Im(a)=0 folgt immer T=0

Danke Schonmal im Vorraus
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung Homogenisieren
Fehlen da nicht die Randbedingungen. Transformation auf eine homogene PDGL bezieht sich ja üblicherweise darauf, inhomogene Randbedingungen zu homogenisieren.
Mr.Bozo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung Homogenisieren
Ja die Randwerte Fehlen. Aber das sind alle Informationen die gegeben waren. Es geht ja im Prinzip darum das gegenteil zu erreichen (homogene Rechte Seite) dazu müsste man ja 2 Funktionen die das Selbe Problem lösen finden und die Differenz bilden. Aber wie man diese genau findet, da scheitert es zzt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ja ziemlich wenig von PDGL, aber anscheinend suchst du ja erstmal nur irgendeine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL, von mir aus eine mit .

Zitat:
Original von Mr.Bozo
Ut-Uxx = sin(2*pi*x)+2sin(3*pi*x) ; U(0,x)=0

[...]

Mit Produktansatz (U=X(x)*T(t) komme Ich leider nicht weiter.

Eigentlich schon, wenn man getrennt behandelt mit sowie mit , jedes mit "eigenem" . verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung Homogenisieren
@Mr.Bozo
Mir ist dein Text der Aufgabenstellung unklar. Ich möchte auch HAL nicht ins Handwerk pfuschen, der einen auf die spezielle Form der rechten Seite zugeschnittenen Separationsansatz benutzt. Aber vielleicht hilft es, ein allgemeines Verfahren zur Lösung der inhomogenen PDGL zu beschreiben, wenn homogene Randbedingungen gegeben wären. Man habe also



mit homogenen Randbedingungen



und Anfangsbedingung



Hätte man inhomogene Randbedingungen, würde man die zuerst homognisieren. Der erste Schritt ist, die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL



unter Berücksichtigung von (R) zu finden. Der Separationsansatz



ergibt dann



Unter Berücksichtigung von (R) ergibt das Lösungen



Die allgemeine Lösung von (**) ist



Um eine Lösung der inhomogenen PDGL (*) zu finden, kann man ein Verfahren verwenden, dass der Variation der Konstanten bei gewöhnlichen DGL gleicht. Man setzt die Konstanten zeitabhängig an. Mit



erhält man durch Einsetzen in (*)



entwickelt man jetzt bezüglich in eine Fourierreihe



Koeffizientenvergleich liefert die gewöhnliche DGL



(A) erfordert .

Bei dem in der Aufgabe gegebenen



steht die Fourierreihe bei z. B. schon da und besteht dann nur aus 2 nicht verschwindenden Summanden. Damit sind auch nur 2 der nicht verschwindend. Für diese bekäme man





Diese DGLs lassen sich leicht lösen und man hat dann die endgültige Lösung. Für den Fall führt der Ansatz von HAL allerdings deutlich schneller zum Ziel.

Edit: Letzte Gleichung korrigiert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Ich möchte auch HAL nicht ins Handwerk pfuschen,

Es war wohl eher ich, der hier rumgepfuscht hat mit seinem "Glückstreffer" von Ansatz. Ein wenig Systematik ist hier sicher angebracht. smile

Aber eine Frage: Bei der zweiten Gleichung hast du dich leicht verschrieben, das sollte doch bestimmt heißen?
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, habe ich. Danke für den Hinweis. Ich werde es korrigieren.
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