Differentialgleichung Homogenisieren |
28.03.2019, 20:33 | Mr.Bozo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Differentialgleichung Homogenisieren Es geht um Folgende Aufgabe aus einer Altklausur (habe keine Lösung): Ut-Uxx = sin(2*pi*x)+2sin(3*pi*x) ; U(0,x)=0 (Ut und Uxx sind jeweils die Ableitungen von u nach x/t ) Mit geeigneten Sturm-Liouville-Probleme und Produktansatz transformiere man das Problem auf eine homogene partielle Differentialgleichung mit passenden Anfangsbedingungen. Meine Ideen: Mit Produktansatz (U=X(x)*T(t) komme Ich leider nicht weiter. Aufgrund der Anfangsbedinung ( U(x,0)=0 ) Komme Ich immer auf die Lösung U=0 da T=a*Tt (Tt ableitung T nach t) da bei Im(a)=0 folgt immer T=0 Danke Schonmal im Vorraus |
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29.03.2019, 12:40 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Differentialgleichung Homogenisieren Fehlen da nicht die Randbedingungen. Transformation auf eine homogene PDGL bezieht sich ja üblicherweise darauf, inhomogene Randbedingungen zu homogenisieren. |
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29.03.2019, 13:12 | Mr.Bozo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Differentialgleichung Homogenisieren Ja die Randwerte Fehlen. Aber das sind alle Informationen die gegeben waren. Es geht ja im Prinzip darum das gegenteil zu erreichen (homogene Rechte Seite) dazu müsste man ja 2 Funktionen die das Selbe Problem lösen finden und die Differenz bilden. Aber wie man diese genau findet, da scheitert es zzt. |
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29.03.2019, 13:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verstehe ja ziemlich wenig von PDGL, aber anscheinend suchst du ja erstmal nur irgendeine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL, von mir aus eine mit .
Eigentlich schon, wenn man getrennt behandelt mit sowie mit , jedes mit "eigenem" . |
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30.03.2019, 10:43 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Differentialgleichung Homogenisieren @Mr.Bozo Mir ist dein Text der Aufgabenstellung unklar. Ich möchte auch HAL nicht ins Handwerk pfuschen, der einen auf die spezielle Form der rechten Seite zugeschnittenen Separationsansatz benutzt. Aber vielleicht hilft es, ein allgemeines Verfahren zur Lösung der inhomogenen PDGL zu beschreiben, wenn homogene Randbedingungen gegeben wären. Man habe also mit homogenen Randbedingungen und Anfangsbedingung Hätte man inhomogene Randbedingungen, würde man die zuerst homognisieren. Der erste Schritt ist, die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL unter Berücksichtigung von (R) zu finden. Der Separationsansatz ergibt dann Unter Berücksichtigung von (R) ergibt das Lösungen Die allgemeine Lösung von (**) ist Um eine Lösung der inhomogenen PDGL (*) zu finden, kann man ein Verfahren verwenden, dass der Variation der Konstanten bei gewöhnlichen DGL gleicht. Man setzt die Konstanten zeitabhängig an. Mit erhält man durch Einsetzen in (*) entwickelt man jetzt bezüglich in eine Fourierreihe Koeffizientenvergleich liefert die gewöhnliche DGL (A) erfordert . Bei dem in der Aufgabe gegebenen steht die Fourierreihe bei z. B. schon da und besteht dann nur aus 2 nicht verschwindenden Summanden. Damit sind auch nur 2 der nicht verschwindend. Für diese bekäme man Diese DGLs lassen sich leicht lösen und man hat dann die endgültige Lösung. Für den Fall führt der Ansatz von HAL allerdings deutlich schneller zum Ziel. Edit: Letzte Gleichung korrigiert. |
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30.03.2019, 12:14 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es war wohl eher ich, der hier rumgepfuscht hat mit seinem "Glückstreffer" von Ansatz. Ein wenig Systematik ist hier sicher angebracht. Aber eine Frage: Bei der zweiten Gleichung hast du dich leicht verschrieben, das sollte doch bestimmt heißen? |
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30.03.2019, 12:53 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, habe ich. Danke für den Hinweis. Ich werde es korrigieren. |
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