Gewöhnliche Differentialgleichungen - Separation der Variablen

29.03.2019, 10:37

Quantum_A

Gewöhnliche Differentialgleichungen - Separation der Variablen

Hi Community,

wenn ich bei der Vorgehensweise der "Separation einer Variablen" auf beiden Seite eine unbestimmte Integration durchführe, weshalb wird bei dem Abhängigen Differential dy keine Integrationskonstante C angehangen?

Liegt es daran, dass das abhängige Differential nunmal von dem unabhängigen Differential abhängig ist und es für das abhängige Differential nunmal keine "unendliche Integrationskonstanten" existieren, da dy nunmal nicht variabel?

Viele Grüße

29.03.2019, 10:58

HAL 9000

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Natürlich ist bei dieser Integration eine Integrationskonstante erforderlich. Aber es ist ziemlich sinnlos, auf BEIDEN Seiten der entstehenden Gleichung jeweils Integrationskonstanten anzufügen, weil man diese beiden (durch Differenzbildung) zu einer einzigen Konstanten zusammenfassen kann. Also kann man es auf einer der beiden Gleichungsseiten auch gleich sein lassen, es ist schlicht redundant.

29.03.2019, 11:16

Quantum_A

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Hi, und Danke für die Antwort.

Also wäre die Integrationskonstante bei folgender Aufgabe $\begin{eqnarray*} \int_{y0}^{y} \ \, dy =\int_{t0}^{t} \! a \, dt \end{eqnarray*}$

-at0+y0 = C ?

Viele Grüße

29.03.2019, 11:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Quantum_A
Also wäre die Integrationskonstante bei folgender Aufgabe $\begin{eqnarray*} \int_{y0}^{y} \ \, dy =\int_{t0}^{t} \! a \, dt \end{eqnarray*}$

Wir hatten oben von unbestimmter Integration gesprochen, jetzt hast du mitten im Rennen die Pferde gewechselt:

Wenn du das ganze gleich als bestimmte Integrale schreibst, bei denen in der unteren Grenze die Anfangswertbedingung verarbeitet ist und in der Obergrenze die aktuelle Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ bzw. der zugehörige Funktionswert $\begin{eqnarray*} y=y(t) \end{eqnarray*}$ , dann ist ÜBERHAUPT KEINE Integrationskonstante notwendig, du musst einfach nur die bestimmten Integrale korrekt ausrechnen. Du bekommst dann aber nicht die allgemeine Lösung der DGL, sondern gleich die spezielle Lösung deiner AWA $\begin{eqnarray*} y(t_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ .

29.03.2019, 11:34

Quantum_A

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Pardon, das sollte laut meinem Buch (Differentialgleichungen für Dummies) scheinbar nicht als bestimmtes Integral aufgefasst werden.

Dort steht als Lösung y = at + c

Das ist ja gerade was mich verwirrt.

Im Koch steht hingegen, dass "es gilt, geschickt die Integrationskonstanten C1 und C2 zusammenzufassen".
Allerdings ergibt nach meiner Rechnung C2 - C1 kein C.

Viele Grüße

29.03.2019, 11:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Quantum_A
Allerdings ergibt nach meiner Rechnung C2 - C1 kein C.

Bei mir schon, denn genau das habe ich hiermit

Zitat:

Original von HAL 9000
weil man diese beiden (durch Differenzbildung) zu einer einzigen Konstanten zusammenfassen kann

ausgedrückt.