Brownsche Bewegung im Startpunkt t > 0

05.04.2019, 15:49

Nevax

Brownsche Bewegung im Startpunkt t > 0

Hallo,

ich wollte euch gerne meine Gedanken mitteilen und sie auf Richtigkeit prüfen und ggf. zusammen mit euch ein paar Lücken füllen.

Es geht um die Brownsche Bewegung, die in meiner Definition in $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ startet.
Nun soll $\begin{eqnarray*} B(t):= x + W(t) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} W(t) \end{eqnarray*}$ ist Brownsche Bewegung und $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , eine Brownsche Bewegung mit Startpunkt x und Erwartungswert x sein.

Also das $\begin{eqnarray*} B(0)=x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} E[B(t)]=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V[B(t)]=t \end{eqnarray*}$ ist, ist mir klar.

Wie kann ich mathematisch korrekt begründen, dass $\begin{eqnarray*} B(t) \end{eqnarray*}$ normalverteilt ist?

Ein weiterer Punkt wäre, dass ich zeigen muss das $\begin{eqnarray*} B(t) -B(s) \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} \lbrace B(u) \rbrace_{0 \geq u \geq s} \end{eqnarray*}$ ist. Da $\begin{eqnarray*} B(t) -B(s)=W(t) -W(s) \end{eqnarray*}$ muss also $\begin{eqnarray*} W(t) -W(s) \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} \lbrace B(u) \rbrace_{0 \geq u \geq s} \end{eqnarray*}$ sein. Auch das sollte eigentlich klar sein, doch fällt es mir nicht leicht dies wirklich mathematisch korrekt zu begründen.

Der nächste Punkt wäre, dass $\begin{eqnarray*} B(t) -B(s) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(t-s) \end{eqnarray*}$ die gleiche Verteilung besitzen. Hier wieder das selbe Spiel $\begin{eqnarray*} B(t) -B(s)=W(t) -W(s) \end{eqnarray*}$ und dementsprechend besitzt $\begin{eqnarray*} B(t) -B(s) \end{eqnarray*}$ die gleiche Verteilung wie $\begin{eqnarray*} W(t-s) \end{eqnarray*}$ weil W(t) eine Brownsche Bewegung ist, aber die Konstante stört mich da wieder.

Und der letzte Punkt ist, dass ich zeigen muss das $\begin{eqnarray*} t \rightarrow B(t) \end{eqnarray*}$ fast sicher stetig ist. Da sollte es eigentlich auch klar sein, aber ein oder zwei Sätze würden mir da vielleicht auch schon helfen.

Vielen Dank im Voraus!

07.04.2019, 23:51

Romaxx

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Zitat:

Wie kann ich mathematisch korrekt begründen, dassB(t)normalverteilt ist?

Du könntest die char. oder erz. Funktion berechnen.

Zitat:

Ein weiterer Punkt wäre, dass ich zeigen muss dasB(t)−B(s)unabhängig von{B(u)}0≥u≥sist. DaB(t)−B(s)=W(t)−W(s)muss alsoW(t)−W(s)unabhängig von{B(u)}0≥u≥ssein. Auch das sollte eigentlich klar sein, doch fällt es mir nicht leicht dies wirklich mathematisch korrekt zu begründen

Definition von Unabhängigkeit war noch?

Zitat:

Der nächste Punkt wäre, dassB(t)−B(s)undB(t−s)die gleiche Verteilung besitzen. Hier wieder das selbe SpielB(t)−B(s)=W(t)−W(s)und dementsprechend besitztB(t)−B(s)die gleiche Verteilung wieW(t−s)weil W(t) eine Brownsche Bewegung ist, aber die Konstante stört mich da wieder.

Auch hier könntest du wieder die char. oder erz. Funktion berechnen und vergleichen, siehe oben .

Zitat:

Und der letzte Punkt ist, dass ich zeigen muss dast→B(t)fast sicher stetig ist. Da sollte es eigentlich auch klar sein, aber ein oder zwei Sätze würden mir da vielleicht auch schon helfen.

Hier redest du lapidar von sollte klar sein. Bitte nenne mir einen Grund, warum das für dich klar ist.

08.04.2019, 16:50

Nevax

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Okay also:

Zitat:

Du könntest die char. oder erz. Funktion berechnen.

Die charakteristische Funktion bestimmt unsere Verteilung eindeutig. Das sollte klappen und verstehe ich.

Zitat:

Definition von Unabhängigkeit war noch?

Wenn ich mir $\begin{eqnarray*} B(t, \omega) \end{eqnarray*}$ schreibe als $\begin{eqnarray*} \delta_x (t,\omega) + W(t,\omega) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \delta_x \end{eqnarray*}$ Dirac-verteilt ist. Dann habe ich zwei Zufallsvariablen und müsste doch damit relativ einfach die Unabhängigkeit anhand der Definition zeigen.

Zitat:

Bitte nenne mir einen Grund, warum das für dich klar ist.

Also $\begin{eqnarray*} t \rightarrow x + W(t) \end{eqnarray*}$ ist fast sicher stetig weil $\begin{eqnarray*} W(t) \end{eqnarray*}$ fast sicher stetig ist und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als Konstante stetig ist. Wobei man wahrscheinlich sagen muss, dass es ab $\begin{eqnarray*} t=x \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Passt das so in etwa?

08.04.2019, 19:14

HAL 9000

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Ein paar Anmerkungen bzw. Fragen:

1) Mit "Brownscher Bewegung" meinst du doch den Wienerprozess? Bei ersterem besteht immer die Gefahr der Verwechslung zu anderen stochastischen Prozessen, welche die reale Brownsche Bewegung besser beschreiben.

2)

Zitat:

Original von Nevax
Der nächste Punkt wäre, dass $\begin{eqnarray*} B(t) -B(s) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(t-s) \end{eqnarray*}$ die gleiche Verteilung besitzen.

Das ist schlicht falsch, zumindest im Fall $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Wenn schon, dann besitzen $\begin{eqnarray*} B(t)-B(s) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(t-s)-x \end{eqnarray*}$ dieselbe Verteilung.

Grundsätzlich ist doch die Frage, welche der Eigenschaften des Wiener-Prozesses darfst du denn eigentlich hier verwenden? Wohl nicht $\begin{eqnarray*} W(t)\sim \mathcal{N}(0,t) \end{eqnarray*}$ , denn ansonsten folgt für $\begin{eqnarray*} B(t)=x+W(t) \end{eqnarray*}$ ja unmittelbar $\begin{eqnarray*} B(t)\sim \mathcal{N}(x,t) \end{eqnarray*}$ . verwirrt

08.04.2019, 20:11

Romaxx

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Wenn du deine genannten Voraussetzungen verwenden darfst, dann sieht das vielversprechend aus. Bei der Begründung mit der Dirac Delta Geschichte: hier würde ich einfach mit der Konstanten rechnen, die keine Verteilung besitzt. Sieht sonst zu sehr nach verrenken aus, wo man das nicht muss. Worüber keine Verteilung definiert ist, muss man dies nicht zwangsläufig immer als Verteilung auffassen.

08.04.2019, 20:55

Nevax

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$\begin{eqnarray*} \lbrace W(t) \rbrace_{t \geq 0} \end{eqnarray*}$ heißt Brownsche Bewegung, falls gilt

1) $\begin{eqnarray*} W(0) =0 \end{eqnarray*}$ , und für alle $\begin{eqnarray*} t > 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} W(t) \end{eqnarray*}$ normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz t.

2) Für alle $\begin{eqnarray*} 0<s<t \end{eqnarray*}$ ,ist $\begin{eqnarray*} W(t)-W(s) \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} \lbrace W(u) \rbrace_{0 \leq u\leq s} \end{eqnarray*}$ .

3) Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} W(t)-W(s) \end{eqnarray*}$ hat die selbe Verteilung wie $\begin{eqnarray*} W(t-s) \end{eqnarray*}$ . Also die Brownsche Bewegung hat stationäre Zuwächse.

4) Die einzelnen Pfade $\begin{eqnarray*} t \mapsto W(t) \end{eqnarray*}$ sind (P-)fast sicher stetig.

Also die Definition die ich euch gegeben habe möchte ich gerne benutzen und in dieser bezeichnen die den Prozess als brownian motion. Vllt wird der Begriff im englisch etwas anders genutzt.

Zitat:

Das ist schlicht falsch, zumindest im Fall x≠0. Wenn schon, dann besitzen B(t)−B(s) und B(t−s)−x dieselbe Verteilung.

Aber dies sollte doch eigentlich gelten damit, B(t) eine Brownsche Bewegung ist.

Zitat:

Welche der Eigenschaften des Wiener-Prozesses darfst du denn eigentlich hier verwenden?

Also $\begin{eqnarray*} W(t) \end{eqnarray*}$ ist eine Brownsche Bewegung/Wienerprozess, warum sollte ich diesen Punkt, dass $\begin{eqnarray*} W (t) \sim N(0,t) \end{eqnarray*}$ , nicht benutzen?

Wahrscheinlich mach ich es mir mit dem Punkt zu kompliziert. Für 1) klappte das ganz gut mit der Charakteristischen Funktion. Allerdings komme ich bei 3) damit nicht weiter, wahrscheinlich weil HAL 9000 recht hat und dies einfach nicht stimmt.

08.04.2019, 21:15

Romaxx

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Nachtrag: den Beweis mit dem Vergleich der Verteilungen habe ich aus meinem vorherigen Post ausgeschlossen. Hier solltest du definitiv auf HAL 9000 hören, er kennt sich aus. Zu den anderen denke ich, sollte das so funktionieren, wie du es beschrieben hast.

08.04.2019, 22:42

HAL 9000

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@Nevax

Warum zitierst du so übel, dass die Formeln nicht mehr lesbar sind? Das zerstört massiv die Lesbarkeit deines Beitrags. Finger2

Zitat:

Original von Nevax

Zitat:

Original von HAL 9000
Das ist schlicht falsch, zumindest im Fall $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Wenn schon, dann besitzen $\begin{eqnarray*} B(t)-B(s) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(t-s)-x \end{eqnarray*}$ dieselbe Verteilung.

Aber dies sollte doch eigentlich gelten damit, B(t) eine Brownsche Bewegung ist.

Hallo? Die Definition von $\begin{eqnarray*} B(t) \end{eqnarray*}$ hast du selbst hier angebracht:

Zitat:

Original von Nevax
$\begin{eqnarray*} B(t):= x + W(t) \end{eqnarray*}$

Es ist also definitiv nicht die Brownsche Bewegung. Im Fall $\begin{eqnarray*} s=t=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} B(t)-B(s)=B(0)-B(0)=0 \end{eqnarray*}$ , wie soll das dieselbe Verteilung haben wie $\begin{eqnarray*} B(t-s)=B(0)=x \end{eqnarray*}$ ??? Absurd im Fall $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

08.04.2019, 23:30

Nevax

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Ja das sehe ich ja komplett ein, dass B(t) keine Brownsche Bewegung ist. Ist ja nicht der erste Fehler in diesem Buch..

Danke für eure mühe!

09.04.2019, 00:13

HAL 9000

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Naja, wer weiß wie ihr "Brownsche Bewegung" definiert. Zumindest ist es kein Wiener-Prozess, dessen Eigenschaften du für dieses B(t) nachweisen wolltest.

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