2a + Wurzel (3a² + 1)

05.04.2019, 19:30

Mathe-Tiefflieger

2a + Wurzel (3a² + 1)

Meine Frage:
Was ergibt sich aus der Formel 2a + Wurzel (3a² + 1)?

Meine Ideen:
Meine Idee ist, dass daraus alle Primzahlen abgeleiter werden können.

05.04.2019, 19:45

Helferlein

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Die Formel ergibt doch schon für a=1 keine Primzahl und für a=2 nicht einmal eine ganze Zahl verwirrt

05.04.2019, 21:39

HAL 9000

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Immerhin gibt es unendlich viele ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , für die diese Zahl $\begin{eqnarray*} 2a+\sqrt{3a^2+1} \end{eqnarray*}$ auch eine ganze Zahl ist. smile

P.S.: Das war mein Anteil am Rumspinnen, solange keine vernünftige Fragestellung da ist. Im Gegensatz zu der Primzahlaussage oben ist das hier aber wenigstens wahr (Stichwort Pellsche Gleichung).

06.04.2019, 01:25

Wildbiene

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Antwort
Es geht tatsächlich.

06.04.2019, 07:32

HAL 9000

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WAS geht tatsächlich? Der Name wechselt, die Nebelkerzen bleiben.

Ich hab inzwischen über die Pellsche Gleichung $\begin{eqnarray*} b^2-3a^2=1 \end{eqnarray*}$ nachgedacht: Die Folge

$\begin{eqnarray*} a_0=0,\quad a_{n+1}=2a_n+\sqrt{3a_n^2+1}\;\mbox{für}\;n\geq 0 \end{eqnarray*}$

liefert tatsächlich die ersten Komponenten aller nichtnegativ ganzzahligen Lösungen $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ dieser Pellschen Gleichung, sie kann auch als $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=4a_n-a_{n-1} \end{eqnarray*}$ mit Start $\begin{eqnarray*} a_0=0,a_1=1 \end{eqnarray*}$ geschrieben werden. Diese Folge hat einige nette zahlentheoretische Eigenschaften, z.b. $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}\left(a_n,a_m\right) = a_{\operatorname{ggT}\left(n,m\right)} \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt u.a. $\begin{eqnarray*} a_n\mid a_m \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\mid m \end{eqnarray*}$ .

Aber diese Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ enthält nicht alle Primzahlen. Sie besteht auch nicht nur aus Primzahlen - tatsächlich habe ich in ihr GAR KEINE Primzahlen entdeckt. Vielleicht meinst du ja, dass jede Primzahl in irgendeinem $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ als Primfaktor enthalten ist? verwirrt

06.04.2019, 12:32

Mathe-Cracker

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Sloane
Es handelt sich um die Folge

h t t p s : / / o e i s . o r g / A 0 0 1 3 5 3

von N. Sloane

06.04.2019, 12:34

Mathe-Cracker

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RE: Sloane
Sie enthält alle Primzahlen in aufsteigender unterbrochener Reihenfolge als ggT

06.04.2019, 12:55

HAL 9000

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Also doch diese Folge, habe ich also richtig geraten - aber warum sagst du das nicht gleich? Forum Kloppe

Zitat:

Original von Mathe-Cracker
Sie enthält alle Primzahlen in aufsteigender unterbrochener Reihenfolge als ggT

Als WAS für ein ggT, d.h. über welche Folgenelemente ??? Der ggT benachbarter Folgenelemente ist z.B. immer gleich 1, d.h., sie sind teilerfremd - und 1 ist KEINE Primzahl.

Bitte sei doch nicht immer so verwaschen ungenau - das hier ist ein Mathematikforum.

EDIT: Ich sage dir auf den Kopf zu, dass diese Aussage falsch ist - ganz gleich, welche Mengen von Folgenelementen du heranziehst, um den ggT jeweils zu bilden:

Nenn mir doch mal eine Menge von Folgenelementen, deren ggT gleich 2 ist, die gibt es nämlich gar nicht. ggT=4 nehm ich dir ab, aber ggT=2 nicht.

06.04.2019, 16:22

Mathe-Cracker

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Antwort an HAL 9000
h t t p s : / / o e i s . o r g / A 0 0 1 3 5 3 liefert

0, 1, 4, 15, 56, 209, 780, 2911, 10864, 40545, 151316, 564719, 2107560, 7865521, 29354524, 109552575, 408855776, 1525870529, 5694626340, 21252634831, 79315912984, 296011017105, 1104728155436, 4122901604639, 15386878263120

2a + Wurzel (3a² + 1) erzeugt aus 0 den Startwert 1.
Die Folgeelemente mit fortlaufenden Nummern enthalten die fortlaufenden Nummen als ggT als Primfaktoren.

Schau Dir mal das hier an:
h t t p : / / p r i m z a h l e n c o d e . h o m e p a g e . t - o n l i n e . d e /
Dann weißt Du, was ich meine.

Da ich als unregistrierter Benutzer keine URLs posten darf, trickse ich den Prüfer aus mit den Leerstellen zwischen den Zeichen. Entferne die Leerstellen und setzte die entstehende URL in Deinem Browser ein.

06.04.2019, 16:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathe-Cracker
Die Folgeelemente mit fortlaufenden Nummern enthalten die fortlaufenden Nummen als ggT als Primfaktoren.

Diese Formulierung ist schlicht Unfug - kannst du dich nicht verständlich ausdrücken? unglücklich

Das einzige was ich erkenne ist, dass jede Primzahl in irgendeinem $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ als Primfaktor enthalten ist (kann man auch relativ einfach beweisen), aber das hat weder etwas mit ggT zu tun noch tauchen diese Primzahlen in aufsteigender unterbrochener Reihenfolge auf - du hast also falsche Angaben gemacht:

Beispielsweise taucht Primfaktor 19 bereits in $\begin{eqnarray*} a_{10} \end{eqnarray*}$ auf, also VOR dem Erstauftreten von Primfaktor 13 in $\begin{eqnarray*} a_{12} \end{eqnarray*}$ .

Ich kann also beim besten Willen kein "in aufsteigender unterbrochener Reihenfolge" erkennen. Dass jede Primzahl unendlich oft auftaucht, ist eine triviale Folgerung aus obigem $\begin{eqnarray*} a_n \mid a_m \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\mid m \end{eqnarray*}$ .

Die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ hat tatsächlich interessante zahlentheoretische Eigenschaften, aber du schaffst es tatsächlich, gewisse Aspekte dieser Folge so total verhunzt zu formulieren, dass man es falsch verstehen muss. unglücklich

06.04.2019, 16:31

Mathe-Cracker

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Antwort an HAL 9000
Schau Dir bitte das hier an:
h t t p : / / p r i m z a h l e n c o d e . h o m e p a g e . t - o n l i n e . d e /

Dann redest Du nicht mehr von Unfug.

06.04.2019, 16:37

HAL 9000

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Ich habs angesehen, und genau deshalb deine falschen Formulierungen kritisiert. unglücklich

Wenn jede Primzahl unendlich oft als Primfaktor von Folgenelementen auftaucht, dann kann man auch selektiv einzelne Primzahlen so rot markieren, dass sie in aufsteigender Reihenfolge dort erscheinen - das ist ein Bauerntrick. Dasselbe klappt übrigens auch in der Fibonacci-Folge

$\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {\color{red}2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {\color{red}3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {\color{red}5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8 = 2^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 13 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 21 = 3\cdot {\color{red}7} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 34 = 2\cdot 17 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 55 = 5\cdot {\color{red}11} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 89 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 144 = 2^4\cdot 3^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 233 = 233 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 377 = {\color{red}13}\cdot 29 \end{eqnarray*}$

Jetzt sage ich auch "alle Primzahlen tauchen in der Fibonacci-Folge lückenlos in aufsteigender Reihenfolge auf" - wie ich sagte: Bauerntrick. Big Laugh

Aber mich wundert gar nichts mehr, wenn ich auf der von dir verlinkten Seite lese:

Zitat:

Deshalb ist die Formel für Primsummanden der Beweis für die Riemannsche Vermutung!

06.04.2019, 16:52

Spassbremse

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In regelmäßigen Abständen soll durch irritierende Postings in sämtlichen Mathematikforen Aufmerksamkeit für den P R I M Z A H L E N C O D E generiert werden. Jetzt steht das Matheboard wieder im Fokus.

Zitat:

Der Name wechsel, die Nebelkerzen bleiben.

Konsequenterweise müsste er sich "GerhardL." nennen. Klingelt es?

06.04.2019, 17:08

HAL 9000

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@Spassbremse

Spätestens nachdem ich das mit der Riemann-Vermutung gelesen habe gebe ich es sowieso auf, gegen die obigen Schwachsinns-Formulierungen anzukämpfen: Ist sinnlos bei solchen Zahlenmystikern bzw. -esoterikern, die leben in ihrer eigenen Welt und sind vernünftigen Argumenten nicht mehr zugänglich. Haben wir oft genug auch hier im Matheboard erlebt. smile

06.04.2019, 18:30

Elvis

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Eines der hübschesten Ergebnisse haben wir in den 1970er-Jahren kennengelernt, als aus den "Geisterpolynomen" "Primzahlpolynome" wurden. Das sind ganzzahlige Polynome höheren Grades in mehreren Variablen, deren positive Werte genau die Primzahlen sind. Die Vermutung, dass solche Polynome existieren, war schon da, und dann wurden sie konstruiert. Wir hatten viel Spaß damit, den Grad und die Anzahl der Variablen zu verkleinern.
Geistige Tiefflieger haben ganz bestimmt weniger Spaß im Leben als Leute, die irgend etwas ernsthaft betreiben.

06.04.2019, 19:43

Wahrheit

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Ok
Ok. Ihr habt Euch geoutet.

Mehr war nicht notwendig.

06.04.2019, 20:17

HAL 9000

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Das hast du jetzt verwechselt: Spassbremse hat dich geoutet.

Wir anderen (zumindest Elvis und ich) mussten gar nicht geoutet werden - es ist hinlänglich durch unsere Boardhistorie bekannt, dass wir ewige Nörgler und Zweifler sind, die partout nicht bereit sind, dem Weg des Erleuchteten bedingungs- und kritiklos zu folgen. Teufel

07.07.2019, 14:51

Zahlentheoretiker

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2a + Wurzel (3a² + 1)

Zitat:

Original von Helferlein
Die Formel ergibt doch schon für a=1 keine Primzahl und für a=2 nicht einmal eine ganze Zahl verwirrt

Wir recht Du hast. Eine andere Perspektive ist notwendig.
2a + Wurzel (3a² + 1) stellt die Verbindung zwischen Addition und Multiplikation her.
Diese Verbindung zeigt die Analogie von Addition und Multiplikation.

Pos Primsummand Primfaktorzerlegung
PZ 0
1 1
2 4 = 2 x 2
3 15 = 3 x 5
4 56 = 2 x 2 x 2 x 7
5 209 = 11 x 19
6 780 = 2 x 2 x 3 x 5 x 13
7 2911 = 41 x 71
8 10864 = 2 x 2 x 2 x 2 x 7 x 97
9 40545 = 3 x 3 x 5 x 17 x 53
10 151316 = 2 x 2 x 11 x 19 x 181
11 564719 = 23 x 43 x 571
12 2107560 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7 x 13 x 193
13 7865521 = 2.131 x 3.691

Das Pendant zur Primfaktorzerlegung ist die Primsummandzerlegung als Darstellung einer natürlichen Zahl n als Summe der aus der Formel 2a + Wurzel (3a² + 1) hervorgehenden Primsummanden, deren erstrangige Anwendung in absteigender Folge Eindeutigkeit bewirkt. Das besondere der Primsummandfunktion ist, den additiven Ursprung der Geraden mit Realteil 1/2 für die auf dieser liegenden nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion zu zeigen. Sie bildet nämlich ebenfalls eine Gerade mit Realteil 1/2 aus dem Verhältnis jedes Primsummanden mit ungeradem n zu der Summe aller Primsummanden bis n. Die Analogie zwischen Primsummanden und Primzahlen hat zur Folge, dass die komplexen Nullstellen nur auf der Geraden mit Realteil 1/2 liegen können. Sie beruht auf der Symmetrie beider zur Zahl 6. Somit ist die Riemannsche Vermutung bewiesen.

Die Menge der Primsummanden mit ungeradem n wurde 1964 von N. J. A. Sloane (Homepage) gefunden. Sie ist ein Spezial-Fall der Lucas-Folgen und besteht aus Hyperprimfaktoren. So ist z. B. von Primfaktor 13 der Hyperprimfaktor 2131 x 3691, dessen Werte sich aus Primsummand 2911 mit 2911 - 780 = 2131 und 2911 + 780 = 3691 ergeben. Das Hypermuster der Primzahlen entsteht durch die Differenzen und Summen dieser Menge, die Faktor bildend sind für nachfolgende Mengenglieder 2n - 1.

10.07.2019, 12:47

Elvis

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Wer abgrundtiefen Unsinn lesen möchte, findet hier genug davon: http://primzahlencode.homepage.t-online.de/

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2a + Wurzel (3a² + 1)

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