Menge - Beweis mit Induktion

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06.04.2019, 11:54

Sebastian35

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Menge - Beweis mit Induktion

Hallo,
ich verstehe folgende Menge nicht.
Liegt das Intervall J, dann nicht in der Vereinigung der Intervalle I ?

06.04.2019, 12:49

Elvis

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a,b,c,d sind beliebig, deshalb kann über die gegenseitige Lage von I und J nichts ausgesagt werden. Unabhängig davon soll gezeigt werden, dass I\J eine endliche Vereinigung paarweise disjunkter Intervalle ist.

06.04.2019, 13:01

Sebastian35

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Den Beweis nuss ich mir noch überlegen. Davor ist mein Problem die Bedeutung von $\begin{eqnarray*} I \setminus{J} \in G^n \end{eqnarray*}$ zu verstehen. Was soll das bedeuten?

06.04.2019, 14:14

Elvis

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Das bedeutet,

Zitat:

Original von Elvis
dass I\J eine endliche Vereinigung paarweise disjunkter Intervalle ist.

Induktionsanfang: Für n=1 ist I\J leer oder ein Teilintervall von I oder zwei Teilintervalle von I. (Mache eine Skizze)

06.04.2019, 15:29

Sebastian35

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Also, das I\J fungiert ja als mein A in der Defintion.Dann ist I\J die Vereinigung von disjunkten Intervallen K.

Wie kommst du dann darauf?
ein Teilintervall von I oder zwei Teilintervalle von I.

06.04.2019, 15:45

Elvis

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Male 3 Bildchen.

06.04.2019, 15:57

Sebastian35

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Meinst du einfach I\J liegt komplett in I oder liegt zwischen 2 Intervallen?

06.04.2019, 18:17

Elvis

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Ich habe keine Meinung, ich mache mir ein vollständiges Bild des eindimensionalen Falles.

Sei $\begin{eqnarray*} I=(0,1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J=(-2.5,-1.5]\Rightarrow I\backslash J=I \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=(-2,0]\Rightarrow I\backslash J=I \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=(-1.5,0.5]\Rightarrow I\backslash J=(0.5,1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=(-1,1]\Rightarrow I\backslash J=\emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=(-0.5,1.5]\Rightarrow I\backslash J=\emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=(0,2]\Rightarrow I\backslash J=\emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=(0.5,2.5]\Rightarrow I\backslash J=(0,0.5] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=(1,3]\Rightarrow I\backslash J=I \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=(1.5,3.5]\Rightarrow I\backslash J=I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J=(-0.5,0]\Rightarrow I\backslash J=I \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=(-0.25,0.25]\Rightarrow I\backslash J=(0.25,1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=(0,0.5]\Rightarrow I\backslash J=(0.5,1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=(0.25,0.75]\Rightarrow I\backslash J=(0,0.25]\cup(0.75,1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=(0.5,1]\Rightarrow I\backslash J=(0,0.5] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=(0.75,1.25]\Rightarrow I\backslash J=(0,0.75] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} J=(1,1.5]\Rightarrow I\backslash J=I \end{eqnarray*}$

Tipp: Bei Fleißaufgaben muss man fleißig sein. Lehrer

06.04.2019, 18:36

Sebastian35

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Vielen Dank Elvis smile

Jetzt verstehe ich es.
Mit J nimmt man ja immer einen gewissen Teil weg, sodass von I alles , ein Teil oder nichts übrig bleibt.
Ich war verwirrt bezüglich der endlichen Vereinigung: $\begin{eqnarray*} A= \bigcup_{k=1}^m I_k \end{eqnarray*}$

Aber es kann ja sein, dass man mit J das Intervall I so aufschneidet, dass man die Vereinigung der beiden übrig gebliebenen Teilintervalle benötigt, um I\J darzustellen, wie es bei dir hier der Fall war:
$\begin{eqnarray*} J=(0.25,0.75]\Rightarrow I\backslash J=(0,0.25]\cup(0.75,1] \end{eqnarray*}$

Jetzt verstehe ich den Fall n=1.
Reicht das dann schon als Beweis, die 3 Möglichkeiten anzugeben.
Was müsste ich mir mein Induktionschritt überlegen?

06.04.2019, 20:01

Elvis

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In höheren Dimensionen kann man aus einem "Hyperquader der n. Dimension" Intervalle, Rechtecke, Quader und "Hyperquader" der 4. bis n. Dimension aussschneiden. Big Laugh

Da bleibt nur der Induktionsschritt von n auf n+1. Bildchen helfen irgendwann nicht weiter.

06.04.2019, 20:24

Sebastian35

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Ja gut, aber wie kann ich den Schritt von n nach n+1 mathematisch fassen?

06.04.2019, 20:56

HAL 9000

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Von mir als Neueinsteiger im Thread eine "technische" Anmerkung:

Es ist ja nur echt was zu beweisen im Fall $\begin{eqnarray*} a\prec b \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} c\prec d \end{eqnarray*}$ .

Ein erster Schritt wäre zu erkennen $\begin{eqnarray*} I\setminus J = I\setminus J' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} J':=I\cap J \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} J' \end{eqnarray*}$ ist entweder leer (da ist dann nichts zu beweisen) oder aber auch wieder ein Intervall $\begin{eqnarray*} (c',d'] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c'\prec d' \end{eqnarray*}$ , diesmal aber mit den zusätzlich benutzbaren Eigenschaften $\begin{eqnarray*} a\preceq c' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d'\preceq b \end{eqnarray*}$ .

Diese Vorüberlegung hilft, die von Elvis für den Fall n=1 aufgelistete Fallzahl drastisch zu reduzieren, auch und gerade bei allgemeiner Dimension $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

07.04.2019, 08:24

Sebastian35

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Ich verstehe leider nicht HAL, warum J einen Schnitt mit I haben sollte. Es kann doch sein, dass
J ausßerhalb von I liegt.
Edit:
Sei $\begin{eqnarray*} I=(0,1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J=(-2.5,-1.5]\Rightarrow I\backslash J=I \end{eqnarray*}$

Dort wäre dein $\begin{eqnarray*} J'=\emptyset \end{eqnarray*}$ . Dann stimmt das schon so smile

Aber inwiefern hilft mir das jetzt, den Induktionschritt zu beweisen.

07.04.2019, 08:52

HAL 9000

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Viele Fragen erledigen sich, wenn man einfach mal gründlich liest:

Zitat:

Original von Sebastian35
Ich verstehe leider nicht HAL, warum J einen Schnitt mit I haben sollte. Es kann doch sein, dass
J ausßerhalb von I liegt.

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} J' \end{eqnarray*}$ ist entweder leer (da ist dann nichts zu beweisen) oder [...]

Und hier erneut:

Zitat:

Original von Sebastian35
Aber inwiefern hilft mir das jetzt, den Induktionschritt zu beweisen.

Zitat:

Original von HAL 9000
diesmal aber mit den zusätzlich benutzbaren Eigenschaften $\begin{eqnarray*} a\preceq c' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d'\preceq b \end{eqnarray*}$ .

Es war lediglich ein Vorschlag, die Fülle der zu betrachteten Fälle zu reduzieren - du musst ihn ja nicht nutzen. unglücklich

07.04.2019, 09:04

Sebastian35

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Ich nehme doch an, dass für Dimension n gilt, dass I\J die Vereinigung von disjunkten Intervallen aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R^n} \end{eqnarray*}$ ist.
Mit welcher Idee schließe ich denn, dass es auch für n+1 gilt.
Das verstehe ich nicht?

07.04.2019, 11:25

HAL 9000

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Mit meiner Empfehlung oben wollen wir nun $\begin{eqnarray*} I\setminus J' \end{eqnarray*}$ zerlegen: Aus $\begin{eqnarray*} J'=I\cap J \end{eqnarray*}$ folgt ja $\begin{eqnarray*} J'\subseteq I \end{eqnarray*}$ und daher das schon erwähnte $\begin{eqnarray*} a\preceq c' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d'\preceq b \end{eqnarray*}$ . Schreiben wir die Komponenten auf, d.h. $\begin{eqnarray*} a=\left(a_1,\ldots,a_n\right) \end{eqnarray*}$ usw. bis hin zu $\begin{eqnarray*} d'=\left(d_1',\ldots,d_n'\right) \end{eqnarray*}$ .

Definieren wir nun

$\begin{eqnarray*} a^1:=\left(a_1,\ldots,a_{n-1},c_n'\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2:=\left(a_1,\ldots,a_{n-1},d_n'\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b^1:=\left(b_1,\ldots,b_{n-1},c_n'\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b^2:=\left(b_1,\ldots,b_{n-1},d_n'\right) \end{eqnarray*}$

so haben wir die disjunkte Vereinigung $\begin{eqnarray*} I=(a,b] = (a,b^1]\cup (a^1,b^2]\cup (a^2,b] \end{eqnarray*}$ , mach dir das am besten an Dimension n=2 oder n=3 mal klar.

Nun liegt $\begin{eqnarray*} J' \end{eqnarray*}$ vollständig im "mittleren Intervall $\begin{eqnarray*} (a^1,b^2] \end{eqnarray*}$ , d.h. es ist

$\begin{eqnarray*} I\setminus J' = (a,b^1]\cup \left((a^1,b^2]\setminus (c',d']\right)\cup (a^2,b]\qquad (1) \end{eqnarray*}$ .

Den mittleren Term analysiert kann man die letzte Komponente abtrennen gemäß

$\begin{eqnarray*} (a^1,b^2]\setminus (c',d'] = \left( (\tilde{a}^1,\tilde{b}^2]\setminus (\tilde{c}',\tilde{d}']\right) \times \left(c_n',d_n'\right]\qquad (2) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \tilde{x}\in\mathbb{R}^{n-1} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ durch Wegfall der letzten, $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Komponente entsteht. Nun wird auf $\begin{eqnarray*} (\tilde{a}^1,\tilde{b}^2]\setminus (\tilde{c}',\tilde{d}'] \end{eqnarray*}$ die Induktionsvoraussetzung angewandt, was letztlich nach erneutem Zusammenbau über (1)(2) den Beweis komplettiert.

P.S.: Diese Beweisskizze ist natürlich für einen Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} (n-1)\to n \end{eqnarray*}$ angelegt. Wenn du lieber $\begin{eqnarray*} n\to (n+1) \end{eqnarray*}$ magst, kannst du ja die Indizes anpassen.

07.04.2019, 11:28

Elvis

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@Sebastian35
Versuche, den Schritt von n=1 auf n=2 und den Schritt von n=2 auf n=3 zu machen, wenn deine Vorstellungskraft dazu ausreicht. Wenn du das nicht kannst, ist die Aufgabe sowieso zu schwierig für dich. Wenn du die beiden Schritte vollzogen hast, ist der allgemeine Induktionsschritt von n auf n+1 reine Formsache bzw. eine formale Abstraktion der konkreten Schritte. Wie ich schon sagte: "Bei Fleißaufgaben muss man fleißig sein."

09.04.2019, 17:39

Sebastian35

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Vielen Dank smile

Sorry für die späte Antwort.
Ich habe es länger überdacht.
Danke euch beiden smile

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