Grad Rechenregel

09.04.2019, 08:46	Halli80	Auf diesen Beitrag antworten »
Grad Rechenregel Meine Frage: Hallo ich soll folgende Rechenregeln beweisen: (i) $\begin{eqnarray} \nabla(fg)= g \nabla f + f \nabla g \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} \nabla \cdot (fv) = \nabla f \cdot v + f \nabla \cdot v \end{eqnarray}$ (iii) $\begin{eqnarray} \nabla \cdot \nabla \times u= 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \nabla \times \nabla f= (0,0,0) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein Beweis dazu: Für die Beweise (i) und (ii) seien f,g,v differenzierbare Abbildungen und der Definitionsbereich sei offen. (i) $\begin{eqnarray} g \nabla f + f \nabla g = g \begin{pmatrix} \partial_{1}f \\ \partial_{2}f \\ . \\ . \\\partial_{n}f \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} \partial_{1}g \\ \partial_{2}g \\ . \\ . \\ \partial_{n}g \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \partial_{1}(fg) \\ \partial_{2}(fg) \\ . \\ . \\ \partial_{n}(fg) \end{pmatrix} = \nabla(fg) \end{eqnarray}$ . Wobei $\begin{eqnarray} \partial_{i}f=\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \end{eqnarray}$ ist. (ii) $\begin{eqnarray} \nabla f \cdot v + f \nabla \cdot v = \begin{pmatrix} \partial_{1}f \\ . \\ . \\ \partial_{n}f \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} V_{1} \\ . \\ . \\ V_{n} \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} \partial_{1} \\ . \\ . \\ \partial_{n} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} V_{1} \\ . \\ . \\ V_{n} \end{pmatrix} = \partial_{1}f V_{1}+...+\partial_{n}fV_{n}+ f\partial_{1}V_{1}+...+f\partial_{n}V_{n}=\partial_{1}(fV_{1})+...+\partial_{n}(f V_{n})= \nabla \cdot (fv) \end{eqnarray}$ (iii) Für diese beweise seien f und u zweimal Stetig partiell Differenzierbar $\begin{eqnarray} \nabla \cdot \nabla \times u= \begin{pmatrix} \partial_{1} \\ \partial_{2} \\ \partial_{3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \partial_{1} \\ \partial_{2} \\ \partial_{3} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} U_{1} \\ U_{2} \\ U_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \partial_{1} \\ \partial_{2} \\ \partial_{3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \partial_{2}U_{3}- U_{2}\partial_{3} \\ \partial_{3}U_{1}-U_{3}\partial_{1} \\ \partial_{1}U_{2}-U_{1}\partial_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hmm was ist aber $\begin{eqnarray} U_{2}\partial_{3} \end{eqnarray}$ ? muss das nicht umgekehrt stehen ?
09.04.2019, 15:10	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grad Rechenregel Du hast recht, alle Symbole der partiellen Differentation müssen links von dem jeweiligen Term stehen also: $\begin{eqnarray} \nabla \cdot \nabla \times u= \begin{pmatrix} \partial_{1} \\ \partial_{2} \\ \partial_{3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \partial_{1} \\ \partial_{2} \\ \partial_{3} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} U_{1} \\ U_{2} \\ U_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \partial_{1} \\ \partial_{2} \\ \partial_{3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \partial_{2}U_{3}- \partial_{3}U_{2} \\ \partial_{3}U_{1}-\partial_{1}U_{3} \\ \partial_{1}U_{2}-\partial_{2}U_{1} \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Denn hierbei handelt es um eine symbolische Schreibweise und nicht um die Multiplikation zweier Faktoren. Ab hier kannst du weiters mit dem NablaOperator das Skalarprodukt mit dem rechten Vektor bilden.
09.04.2019, 19:45	Halli80	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grad Rechenregel Okay ich habs jetzt danke Ich soll jetzt folgendes zeigen: Seien $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{eqnarray}$ eine orthogonale Matrix und $\begin{eqnarray} u \in C^{2}(\mathbb{R}^{n} ) \end{eqnarray}$ eine Lösung der Laplace Gleichung. Zeigen Sie: Die Funktion $\begin{eqnarray} v: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}, v(x):=u(Ax) \end{eqnarray}$ ist ebenfalls eine Lösung der Laplace Gleichung. Wie kann ich denn hier vorgehen ?

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