Laplace-Gleichung

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10.04.2019, 09:10	Halli80	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace-Gleichung Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{eqnarray}$ eine orthogonale Matrix und $\begin{eqnarray} u \in C^{2}(\mathbb{R}^{n} ) \end{eqnarray}$ eine Lösung der Laplace Gleichung. Zeigen Sie: Die Funktion $\begin{eqnarray} v: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}, v(x):=u(Ax) \end{eqnarray}$ ist ebenfalls eine Lösung der Laplace Gleichung. Meine Ideen: Ich denke ich muss mit der mehrdimensionalen kettenregel arbeiten. Die erste Ableitung von v ist: $\begin{eqnarray} \frac{\partial u(AX)}{\partial x_{i}}= \frac{\partial u(Ax)}{\partial x_{i}} A \end{eqnarray}$ und dementsprechend die zweite: $\begin{eqnarray} \frac{\partial^{2} u(AX)}{\partial x^{2}_{i}}= \frac{\partial^{2} u(Ax)}{\partial^{2} x^{2}_{i}} \underbrace{A A}_{I} = \frac{\partial^{2} u(Ax)}{\partial^{2} x^{2}_{i}} \end{eqnarray}$ Also folgt $\begin{eqnarray} \Delta u(Ax) = \frac{\partial^{2} u(Ax)}{\partial^{2} x^{2}_{1}}+...+ \frac{\partial^{2} u(Ax)}{\partial^{2} x^{2}_{n}}=0 \end{eqnarray*}$ stimmt das so ? Habe ich alles korrekt aufgeschrieben?
10.04.2019, 11:17	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace-Gleichung Die Laplacegleichung kann man mit dem Nabla-Operator $\begin{eqnarray} \nabla_x \end{eqnarray}$ formal schreiben als $\begin{eqnarray} (\nabla_x \cdot \nabla_x)\,\, u(\vec x)=0 \end{eqnarray}$ Mit einer Variablentransformation $\begin{eqnarray} \vec y=A\vec x \end{eqnarray}$ kann man eine neue Funktion $\begin{eqnarray} u(A\vec x)=v(\vec x)=u(\vec y) \end{eqnarray}$ erzeugen. Zu zeigen ist, dass für diese Funktion ebenfalls gilt $\begin{eqnarray} (\nabla_y \cdot \nabla_y) u(\vec y)=0 \end{eqnarray}$ Wie man durch die Kettenregel leicht bestätigen kann, gilt $\begin{eqnarray} \nabla_x v(\vec x)=A^T\nabla_y u(\vec y) \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ die transponierte Matrix von A. Formal transformiert sich also der Nabla-Operator gemäß $\begin{eqnarray} \nabla_x =A^T\nabla_y \end{eqnarray}$ Setzt man dies in die obige Laplacegleichung ein, ergibt sich $\begin{eqnarray} (A^T\nabla_y \cdot A^T\nabla_y) u=(\nabla_y \cdot AA^T\nabla_y) u=0 \end{eqnarray}$ Da die Matrix A orthogonal ist, gilt $\begin{eqnarray} AA^T=\text{Einheitsmatrix} \end{eqnarray}$ .
10.04.2019, 17:54	Halli80	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace-Gleichung Hallo Ehos danke für die Antwort. Ich hätte dazu einige fragen: 1. Warum tut man eine Variablentransformation durch ? Muss man das machen? 2. Wie kommst du auf den Gradienten ? 3. In der letzten Gleichung wie kommst du auf den Zweiten Ausdruck?
11.04.2019, 09:46	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
------------------------------------- Frage 1: Warum Variablentransformation? Antwort 1: Die Funktion $\begin{eqnarray} u(\vec x) \end{eqnarray}$ erfüllt die Laplacegleichung und du sollst zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray} u(A\vec x) \end{eqnarray}$ ebenfalls die Laplacegleichung erfüllt. Die neue Funktion $\begin{eqnarray} u(A\vec x) \end{eqnarray}$ ist also dadurch entstanden, dass man im Argument eine Variablentransformation durchgeführt hat. Das habe ich mir nicht ausgedacht, sondern das ist gerade die Aufgabenstellung! Beispiel: Die lineare Funktion y=mx+n erfüllt offenbar die "Laplacegleichung" $\begin{eqnarray} \tfrac{d^2u}{dx^2}=\tfrac{d^2}{dx^2}(mx+n)=0 \end{eqnarray}$ . Man soll zeigen, dass nach der Variablentransformation $\begin{eqnarray} x \rightarrow ax \end{eqnarray}$ die Funktion y(ax)=m(ax)+n immer noch die Laplacegleichung erfüllt. Dies ist der Fall, denn offenbar gilt $\begin{eqnarray} \tfrac{d^2}{dx^2}[m(ax)+n]=0 \end{eqnarray}$ . ------------------------------------- Frage 2: Wie kommt man auf den Gradienten? Antwort 2: Die Laplacegleichung lautet $\begin{eqnarray} \Delta u=0 \end{eqnarray}$ . Der Laplaceoperator kann formal als "Quadrat" des Nablaoperators (=Gradient) dargestellt werden, also $\begin{eqnarray} \Delta =\nabla \cdot \nabla \end{eqnarray}$ . ------------------------------------- Frage 3: Wie kommt man auf den zweiten Ausdruck in der letzten Gleichung? Antwort 3 Bei jedem Skalarprodukt $\begin{eqnarray} A\vec x\cdot \vec y \end{eqnarray}$ mit einer Matrix A kann man die Matrix A vom ersten Faktor auf den zweiten Faktor abwälzen, wenn man die Matrix transponiert. Allgemein gilt also $\begin{eqnarray} A\vec x\cdot \vec y=\vec x\cdot A^T\vec y \end{eqnarray}$ .
11.04.2019, 10:32	Halli80	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Danke für die Ausführliche Antwort. Frage 2 hast du etwas falsch verstanden ich meinte eigentlich damit das ich nicht weiß wie du auf das Ergebnis gekommen bist. Mit der Mehrdimensionalen Kettenregel? Das ist doch der Teil aus dem Anhang oder ? Wie kommt das A transponiert zu Stande
11.04.2019, 11:20	Halli80	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht die Rechnung dann so aus: $\begin{eqnarray} \frac{\partial u(Ax)}{\partial x_{1}}= \frac{\partial u(Ax)}{\partial y_{1}} \cdot A\frac{\partial x}{\partial x_1} = \frac{\partial u(Ax)}{\partial y_{1}} \cdot (A,0,0,...,0) \end{eqnarray}$ Iwas mache ich doch falsch
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11.04.2019, 13:10	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich rechne das mal anhand eines 2-dimensionalen Beispiels vor. In diesem Falle lautet die orthogonale 2x2-Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{2}2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und du muss von folgender Funktion den Laplaceoperator berechnen: $\begin{eqnarray} u(\underbrace{A_{11}x_1+A_{12}x_2}_{\text{neue Variable }y_1},\underbrace{A_{21}x_1+A_{22}x_2}_{\text{neue Variable }y_2}) \end{eqnarray}$ Die 1.Ableitungen lauten mittels Kettenregel $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u}{\partial x_1}=\tfrac{\partial u}{\partial y_1}\tfrac{\partial y_1}{\partial x_1}+\tfrac{\partial u}{\partial y_2}\tfrac{\partial y_2}{\partial x_1}=\tfrac{\partial u}{\partial y_1}A_{11}+\tfrac{\partial u}{\partial y_2}A_{21} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u}{\partial x_2}=\tfrac{\partial u}{\partial y_1}\tfrac{\partial y_1}{\partial x_2}+\tfrac{\partial u}{\partial y_2}\tfrac{\partial y_2}{\partial x_2}=\tfrac{\partial u}{\partial y_1}A_{12}+\tfrac{\partial u}{\partial y_2}A_{22} \end{eqnarray}$ Die 2.Ableitungen lauten mittels Kettenregel $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial}{\partial x_1}\left (\tfrac{\partial u}{\partial x_1}\right )=\tfrac{\partial}{\partial x_1}\left (\tfrac{\partial u}{\partial y_1}A_{11}+\tfrac{\partial u}{\partial y_2}A_{21}\right )=\tfrac{\partial }{\partial y_1}\left (\tfrac{\partial u}{\partial y_1}A_{11}+\tfrac{\partial u}{\partial y_2}A_{21}\right )A_{11}+\tfrac{\partial }{\partial y_2}\left (\tfrac{\partial u}{\partial y_1}A_{11}+\tfrac{\partial u}{\partial y_2}A_{21}\right )A_{21}=\tfrac{\partial ^2u}{\partial y_1^2}A_{11}^2+2\tfrac{\partial^2u}{\partial y_1\partial y_2} A_{21}A_{11}+\tfrac{\partial ^2u}{\partial y_2^2}A_{21}^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial}{\partial x_2}\left (\tfrac{\partial u}{\partial x_2}\right )=\tfrac{\partial}{\partial x_2}\left (\tfrac{\partial u}{\partial y_1}A_{12}+\tfrac{\partial u}{\partial y_2}A_{22}\right )=\tfrac{\partial }{\partial y_1}\left (\tfrac{\partial u}{\partial y_1}A_{12}+\tfrac{\partial u}{\partial y_2}A_{22}\right )A_{12}+\tfrac{\partial }{\partial y_2}\left (\tfrac{\partial u}{\partial y_1}A_{12}+\tfrac{\partial u}{\partial y_2}A_{22}\right )A_{22}=\tfrac{\partial ^2u}{\partial y_1^2}A_{12}^2+2\tfrac{\partial^2u}{\partial y_1\partial y_2} A_{22}A_{12}+\tfrac{\partial ^2u}{\partial y_2^2}A_{22}^2 \end{eqnarray}$ Wenn man alles addiert und zusammenfasst, ergibt sich der 2-dimensionale Laplaceoperator $\begin{eqnarray} \Delta u=\tfrac{\partial}{\partial x_1}\left (\tfrac{\partial u}{\partial x_1}\right )+\tfrac{\partial}{\partial x_2}\left (\tfrac{\partial u}{\partial x_2}\right )=\tfrac{\partial ^2u}{\partial y_1^2}\underbrace{(A_{11}^2+A_{12}^2)}_{1}+\tfrac{\partial ^2u}{\partial y_2^2}\underbrace{(A_{21}^2+A_{22}^2)}_{1}+2\tfrac{\partial^2u}{\partial y_1\partial y_2}\underbrace{(A_{21}A_{11}+A_{22}A_{12})}_{0} \end{eqnarray}$ Die Klammern ergeben die Werte 1 bzw. 0, weil für die obige Matrix A gilt $\begin{eqnarray} AA^T=\text{Einheitsmatrix} \end{eqnarray}$ . Prüfe das mal nach, indem du das Matrixprodukt $\begin{eqnarray} AA^T \end{eqnarray}$ explizit berechnst und mit der Einheitsmatrix gleichsetzt.
25.04.2019, 13:55	Halli80	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace-Gleichung Tut mir leid das ich jetzt erst antworte. Man denkt man beherrsche nun die mehrdimensionale Kettenregel und dann steht man blöd da Stimmt dieser Rechenweg: $\begin{eqnarray} \frac{du(Ax)}{dx} = \partial_{x}(A\vec{x}) \cdot \partial_{y}u(A\vec{x}) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} =\begin{pmatrix} A_{11} & . & . \\ . &. & .\\ . & . &. \\.&. & A_{mn} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \partial_{x_1}\vec{x} \\ . \\ . \\ \partial_{x_n}\vec{x} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \begin{pmatrix} \partial_{y_1}u \\ . \\ . \\ \partial_{y_m}u \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} A_{11}+...+A_{1n} \\ . \\ . \\ A_{m1}+...+A_{mn} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \begin{pmatrix} \partial_{y_1}u \\ . \\ . \\ \partial_{y_m}u \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (A_{11}+...+A_{1n})\partial_{y_1}u +...+ (A_{m1}+...+A_{mn})\partial_{y_m}u \end{eqnarray}$ für n=m=2 ist das ja auch genau das was du hast. Stimmt das so ?
26.04.2019, 11:47	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe die Pluszeichen in deinen Matrizen nicht. ---------------------------------------------------- Ich schreibe dir den Beweis nochmals in der kompakten Indexschreibweise auf. In dieser Schreibweise wird automatisch über doppelt auftretende Indizes summiert, wobei man das Summenzeichen zwecks Abkürzung weglässt. Zwei Beispiele: $\begin{eqnarray} y_i=a_{ij}x_j \end{eqnarray}$ bedeutet $\begin{eqnarray} y_i=\sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}x_j \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial }{\partial x_i}\tfrac{\partial }{\partial x_i} \end{eqnarray}$ bedeutet $\begin{eqnarray} y_i=\sum\limits_{i=1}^{n} \tfrac{\partial^2u}{\partial x_i^2} \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------- Satz: Wenn die Funktion $\begin{eqnarray} u(x_j) \end{eqnarray}$ die Laplacegleichung erfüllt, so erfüllt die Funktion $\begin{eqnarray} v(y_i) \end{eqnarray}$ ebenfalls die Laplacegleichung, wobei man die neue Funktion $\begin{eqnarray} v(y_i) \end{eqnarray}$ durch eine Koordinatentransformation $\begin{eqnarray} v(y_i)=v(a_{ij}x_j)=u(x_j) \end{eqnarray}$ mit einer orthogonalen Matrix $\begin{eqnarray} a_{ij} \end{eqnarray}$ gewonnen hat. Beweis: $\begin{eqnarray} \underbrace{0=\tfrac{\partial}{\partial x_j} \left ( \tfrac{\partial u}{\partial x_j} \right )}_{\text{Laplacegleichung}}=\tfrac{\partial}{\partial x_j} \underbrace{\left ( \tfrac{\partial v}{\partial y_i}\tfrac{\partial y_i}{\partial x_j} \right )}_{\text{Kettenregel}}=\tfrac{\partial}{\partial x_j} \left ( \tfrac{\partial v}{\partial y_i}a_{ij} \right )=\underbrace{\tfrac{\partial}{\partial y_k} \left ( \tfrac{\partial v}{\partial y_i}a_{ij}\right ) \tfrac{\partial y_k}{\partial x_j}}_{\text{Kettenregel}}=\tfrac{\partial}{\partial y_k} \left ( \tfrac{\partial v}{\partial y_i}a_{ij}\right ) a_{kj}=\tfrac{\partial}{\partial y_k} \left ( \tfrac{\partial v}{\partial y_i}\right )\underbrace {a_{ij}a_{kj}}_{\delta_{ik}}=\tfrac{\partial}{\partial y_k} \left ( \tfrac{\partial v}{\partial y_i}\right ) \delta_{ik}=\tfrac{\partial}{\partial y_i} \left ( \tfrac{\partial v}{\partial y_i}\right ) \end{eqnarray}$ Im vorletzten Schritt wurde die Indentität $\begin{eqnarray} a_{ij}a_{kj}=\delta_{ik} \end{eqnarray}$ benutzt. Dies entspricht der Matrixgleichung $\begin{eqnarray} AA^T=E \end{eqnarray}$ , was gerade die Defintion von orthogonalen Matrizen ist.
26.04.2019, 16:22	Halli80	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohman du bist so nett Du hast einfach nochmal den Beweis aufgeschrieben. Vielen dank für die Mühe ich werde mir jeden Schritt genau angucken.

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