Höhenschnittpunkt

14.04.2019, 19:12	Geometrie	Auf diesen Beitrag antworten »
Höhenschnittpunkt Für ein Dreieck mit den Eckpunkten a,b,c in R^2 ist der Höhenschnittpunkt gegeben durch: $\begin{eqnarray} h=\frac{<a,b-c>a^\perp + >b,c-a>b^\perp + <c,a-b> c^\perp }{det(a-c,b-c)} \end{eqnarray}$ Ich muss sicherlich mit den Gleichungen für die Höhen anfangen und muss zeigen, dass diese sich schneiden. Ich weiß aber nicht, wie man das mathematisch korrekt aufschreibt. Kann mir einer helfen. Ich bin für jede Hilfe dankbar.
15.04.2019, 16:01	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Höhenschnittpunkt Die Bezeichnungen in der Aufgabe sind etwas verwirrend, weil man mit den Kleinbuchstaben a,b,c üblicherweise die Seiten des Dreiecks bezeichnet oder die Richtungsvektoren der Seiten. Hier sind aber damit die Ortsvektoren der Ecken gemeint. Daher kann man zur Reduktion der Schreibarbeit o.B.d.A. setzen: $\begin{eqnarray} \vec a=\overrightarrow {OA}=(0,0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec b=\overrightarrow {OB}=(b_x,b_y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec c=\overrightarrow {OC}=(c_x,c_y) \end{eqnarray}$ Bei $\begin{eqnarray} \vec v=(v_x,v_y) \end{eqnarray}$ ist mit $\begin{eqnarray} \vec v^\perp \end{eqnarray}$ der Vektor $\begin{eqnarray} (-v_y,v_x) \end{eqnarray}$ gemeint. Es sei noch $\begin{eqnarray} \vec d= \overrightarrow {BC}=\vec c - \vec b \end{eqnarray}$ Der Schnittpunkt der Höhen durch A und B bzw. der Höhen durch A und C ergibt sich aus $\begin{eqnarray} \vec a +\lambda_d \vec d^\perp =\vec b +\lambda_c \vec c^\perp \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec a +\lambda_d \vec d^\perp =\vec c +\lambda_b \vec b^\perp \end{eqnarray}$ Durh Lösen der beiden linearen Gleichungssysteme stellt man fest, dass sich das gleiche $\begin{eqnarray} \lambda_d \end{eqnarray}$ ergibt. Die Schnittpunkte sind also identisch. Die 3 Höhen schneiden sich in einem Punkt. Und der ergibt sich aus dem errechneten $\begin{eqnarray} \lambda_d \end{eqnarray}$ . Jetzt muss man nur noch nachrechnen, dass die angegebene Formel denselben Schnittpunkt ergibt.

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