Körper wird mit Wasser gefüllt

15.04.2019, 20:00

Bobby Fischer

Körper wird mit Wasser gefüllt

Meine Frage:
Ein Wassertrog von 2m Länge hat die Form eines senkrechten Prismas; der Querschnitt ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 50cm.
In den Trog werden pro Sekunde 2 Liter Wasser gefüllt.
a) Ermitteln Sie die Zuordnung h(t) --> V(t).

b) Wie schnell steigt der Wasserspiegel in dem Augenblick, wo das Wasser im Trog 30cm hoch ist?

Meine Ideen:
Die Lösungen sind a) V(h(t))= $\begin{eqnarray*} \frac{200}{3\sqrt{x} }*h^{2}(t) \end{eqnarray*}$
Und b) V'(h(t))= $\begin{eqnarray*} \frac{200}{3\sqrt{x} }*2*h(t)*h^{'}(t) \end{eqnarray*}$

Mir ist nicht klar wie man auf die Formeln kommt und anschließend vorgeht. Vielen Dank im Voraus und noch einen schönen Abend!

16.04.2019, 09:05

klarsoweit

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RE: Körper wird mit Wasser gefüllt

Zitat:

Original von Bobby Fischer
Meine Ideen:
Die Lösungen sind a) V(h(t))= $\begin{eqnarray*} \frac{200}{3\sqrt{x} }*h^{2}(t) \end{eqnarray*}$

Hm. Wahrscheinlich lautet die Lösung wohl eher: $\begin{eqnarray*} V(h(t)) = \frac{200}{\sqrt 3} \cdot h^2(t) \end{eqnarray*}$

Was du als erstes brauchst, ist die Querschnittsfläche des Troges in Abhängigkeit von der Höhe h(t). Betrachte dazu das Dreieck ABC. Es ist - wie auch die Seitenfläche des Troges - gleichseitig. Die Strecken AB und BC - alias x(t) - sind somit gleich. Über den Satz des Pythagoras im Dreieck ABM kannst du eine Beziehung zwischen h(t) und x(t) herstellen. smile

16.04.2019, 09:22

Bobby Fischer

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RE: Körper wird mit Wasser gefüllt
Also $\begin{eqnarray*} h(t)= \frac{x(t)}{2}*\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
Aber wie kommt man weiter?

16.04.2019, 09:35

klarsoweit

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RE: Körper wird mit Wasser gefüllt
Stelle das nach x(t) um und überlege, wie du dann die Fläche des Dreiecks ABM ausrechnen kannst.

16.04.2019, 10:05

Bobby Fischer

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Ok a) hab ich jetzt. Was ich aber noch nicht ganz begreife ist woher das zusätzliche h'(t) in der Ableitung kommt. Ich hätte gesagt es wäre einfach V'(h(t))= $\begin{eqnarray*} \frac{200}{3\sqrt{x} }*2*h(t) \end{eqnarray*}$

16.04.2019, 10:16

klarsoweit

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RE: Körper wird mit Wasser gefüllt
Du mußt $\begin{eqnarray*} V(h(t)) = \frac{200}{\sqrt 3} \cdot h^2(t) \end{eqnarray*}$ nach t differenzieren. Dabei mußt du bei der Ableitung von h²(t) die Kettenregel oder wahlweise die Produktregel beachten. smile

Und bitte nimm die korrekten Formeln. Die Wurzel(x) ist da fehl am Platze.

16.04.2019, 10:38

Bobby Fischer

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Entschuldigung für die falsche Formel. Könntest du mir zeigen
, wie das Vorgehen ist, wenn ich nach t differenziere? Genau dieser Schritt war einer der Gründe dafür, dass ich die Frage gestellt habe. Ich hätte nämlich einfach mit der Potenzregel aus $\begin{eqnarray*} h(t)^{2} \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} 2*h(t) \end{eqnarray*}$ gemacht

16.04.2019, 10:41

klarsoweit

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Wie gesagt: entweder leitest du $\begin{eqnarray*} h(t)^2 \end{eqnarray*}$ mit der Kettenregel ab, oder du schreibst es als Produkt h(t) * h(t) und nimmst dann die Produktregel.

Testaufgabe: wie leitest du sin(2x) oder (sin(x))² nach x ab?

EDIT: noch ein Hinweis zu deiner "falschen" Methode. Nach deiner Methode würdest du $\begin{eqnarray*} f(x) = (x^2)^2 \end{eqnarray*}$ ableiten zu $\begin{eqnarray*} f'(x) \stackrel{?}{=} 2x^2 \end{eqnarray*}$ . Das ist aber offensichtlich falsch. Mit der Kettenregel kommt man zu dem korrekten Ergebnis.

16.04.2019, 13:47

mYthos

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Eine fast identische Aufgabe gab es anno 2007 hierboards und etwas später eine ähnliche auch dort

Allerdings ist hier das Volumen des Kegels in das Volumen des Prismas umzuschreiben.

Vielleicht willst du da auch mal reinschauen.

mY+

20.04.2019, 04:24

klauss

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Da ich gerne noch eine Lösung für Frage b) hätte und das Problem allgemein interessant ist, meine Idee: Direkte Bestimmung von $\begin{eqnarray*} h(t) \end{eqnarray*}$ .
Ansatz: Für das Wasservolumen im Trog zum Zeitpunkt t gilt die Beziehung
$\begin{eqnarray*} V(t)=b(t)\cdot h(t)\cdot 0,5\cdot l=2000\frac{cm^{3} }{s}\cdot t \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} b(t) \end{eqnarray*}$ = Breite des Wasserspiegels an der Oberfläche zum Zeitpunkt t
$\begin{eqnarray*} h(t) \end{eqnarray*}$ = Höhe des Wasserspiegels zum Zeitpunkt t
$\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ = 200 cm (Länge des Trogs)

Aufgrund von Strahlensätzen/Beziehungen zentrischer Streckung gilt (z. B für das blaue Volumen im Bild)
$\begin{eqnarray*} \frac{b(t)}{b_{0} } =\frac{h(t)}{h_{0} } \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} b_{0} \end{eqnarray*}$ = 50 cm (Breite des Trogs am oberen Rand)
$\begin{eqnarray*} h_{0} \end{eqnarray*}$ = 50 cm $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ cos(30°) (Höhe des Trogs)

In obige Gleichung eingesetzt folgt daraus
$\begin{eqnarray*} h(t)\cdot \frac{b_{0} }{h_{0} }\cdot h(t)\cdot 0,5\cdot l=2000\frac{cm^{3} }{s}\cdot t \end{eqnarray*}$
sowie nach Umstellen und Zusammenfassen

$\begin{eqnarray*} h(t)=\sqrt[4]{300}\cdot \sqrt{t} \end{eqnarray*}$ in cm

Über $\begin{eqnarray*} h(t)=30 \end{eqnarray*}$ erhält man den Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_{1} \end{eqnarray*}$ , zu dem der momentane Anstieg des Wasserspiegels gesucht ist.
Letzterer ist dann $\begin{eqnarray*} h'(t_{1}) \end{eqnarray*}$ in cm/s.

Sollte eigentlich stimmen!? Meine Proben waren schlüssig.

20.04.2019, 15:01

mYthos

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Ich kann dein Resultat bestätigen. Ich habe es ohne Strahlensatz (nur mit der Flächenformel des Dreieckes und den Differentialen) berechnet.

Nachdem in b) gefragt war, wie schnell der Wasserspiegel steigt, habe ich gleich allgemein mittels der Differentiale

$\begin{eqnarray*} h_t' = \frac {\sqrt [4]{18.75}}{\sqrt t} \end{eqnarray*}$

in Abhängigkeit von der Zeit ermittelt. Allerdings braucht man bei der Abhängigkeit von der Höhe natürlich auch $\begin{eqnarray*} h(t) \end{eqnarray*}$ , dies folgt aus

$\begin{eqnarray*} V_t = 2000 t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{h_t} = \frac{h_t^2}{\sqrt 3} \cdot 200 \end{eqnarray*}$
--------------------------------
Gleichsetzen:

$\begin{eqnarray*} 10t \sqrt 3 = h_t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(t) = h_t = \sqrt[4]{300} \sqrt t \end{eqnarray*}$

Deren Ableitung ist mein $\begin{eqnarray*} h_t' \end{eqnarray*}$ oben.

Es ergibt sich: Zur Zeit 51.96 s steht der Wasserspiegel 30 cm hoch und dessen Änderung erfolgt zu diesem Zeitpunkt (--> momentan) mit

$\begin{eqnarray*} h_t'(30) = \frac{\sqrt[4]{5625}}{30} = 0.29 \ cm \ s^{-1} \end{eqnarray*}$

mY+

20.04.2019, 15:13

klauss

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Danke.

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