Rückwärtsanalyse bei LGS- Aufgabe

17.04.2019, 18:25	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Rückwärtsanalyse bei LGS- Aufgabe Hallo zusammen, ich höre gerade zum ersten Mal Numerik und tue mich noch ziemlich schwer mit dem ganzen Thema. Aufgabe: Das LGS $\begin{eqnarray} ax+by= 1 <br /> cx+dy= 0 \end{eqnarray}$ besitzt die Lösungen $\begin{eqnarray} x=\frac{d}{ad-bc} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=\frac{-c}{ad-bc} \end{eqnarray}$ Es seien a,b,c,d Maschinenzahlen. Gleitpunktrechnung mit Maschinengenauigkeit $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ergibt Werte $\begin{eqnarray} \tilde{x}, \tilde{y} \end{eqnarray}$ a) Welche Formeln ergeben sich für die berechneten Werte $\begin{eqnarray} \tilde{x} , \tilde{y} \end{eqnarray}$ unter Einbeziehung der bei der Berechnung auftretenden Rundungsfehler. Mein Ansatz: Bei Rundung wird die eigentliche Operation, um einen möglichen Faktor $\begin{eqnarray} (1+\epsilon ) \end{eqnarray}$ verändert nach Vorlesung. Also sowas wie: $\begin{eqnarray} fl(a\cdot b)=a\cdot b (1+\epsilon) \end{eqnarray}$ Daraus folgte dann für mich: $\begin{eqnarray} x=\Bigg (\frac{d}{(ab(1+\epsilon_1)-bc(1+\epsilon_2))(1+\epsilon_3)} \Bigg )(1+\epsilon_4) \end{eqnarray}$ Analog für y. Und die Epsilons_Zahl sind kleiner gleich dem oben genannten Epsilon. Ist das so richtig ? b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \tilde{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tilde{y} \end{eqnarray}$ die exakte Lösung eines benachbarten LGS $\begin{eqnarray} a(1+\alpha)\tilde{x}+b(1+\beta)\tilde{y}= 1<br /> c(1+\gamma)\tilde{x}+d(1+\delta)\tilde{y}=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\alpha ,\|\beta \|\leq 3\epsilon/(1-\epsilon)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|\gamma \| , \|\delta \| \leq \epsilon (1-\epsilon)) \end{eqnarray}$ Hier bräuchte ich mal ein wenig Anschub, weiß nicht so recht was ich jetzt machen soll, denke die Überschrift der Aufgabe "Rückwärtsanalyse" bezieht sich auf diesen Aufgabenteil und das habe ich noch nie gemacht und nicht so super verstanden. LG Snexx_Math

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