Differentialgleichung 3ter Ordnung als DGL LGS 1ter Ordnung lösen

18.04.2019, 22:45

Matrixxxx

Differentialgleichung 3ter Ordnung als DGL LGS 1ter Ordnung lösen

Meine Frage:
Hallo, ich habe in meinen Hausaufgaben eine Aufgabe in der ich eine Differentielgleichung(AWP) 3ten grades lösen soll. Ich soll sie mittels eines 3 dimensionalen Differential LGS 1 ter Ordnung lösen. Die Differentialgleichung:
x''' = 64x' mit den Anfangswerten: x(0) = 1, x'(0) = -2, x''(0) = 0
Ausserdem wurde zu der Aufgabe folgender Hinweis gegeben:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 64 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -8 & 0 & 8 \\ 64 & 0 & 64 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \cdot (\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -8 & 0 & 8 \\ 64 & 0 & 64 \end{pmatrix})^{-1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Aus der Vorlesung haben ich folgende Lösungsansätze:

u' = Mu ->u(t) = $\begin{eqnarray*} e^{Mt}*v \end{eqnarray*}$ wobei v der anfangswertvektor ist $\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} x'(0) \\ x''(0) \\ x''(0) \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

und eine Pauschallösung um Differentialgleichungen der From: $\begin{eqnarray*} x^{(n)} + a_1x^{(n-1)} +...+a_{n-1}x'+a_nx = h(x) \end{eqnarray*}$
in eine Matrix umzuwandeln:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &.. & 0 \\ 0 & 0 & 1 & .. & 0 \\ .. & .. & .. & .. & .. \\ .. & ..& .. & .. & 1\\ -a_n & -a_{n-1} & ..& .. & a_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe Angefangen indem ich die Differentialgleichung zu:
x'''+0x'' -64x' +0x = 0 umgestellt habe. Damit habe ich die Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 64 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = M bekommen , die ja uch in dem Hinweis steht.
Anschließend habe ich die Matrix in die Lösungsformel für Differentialgleichungs lgs 1ter Ordnung eingesetzt, also:

x(t) = $\begin{eqnarray*} e^{Mt}*v = e^{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 64 & 0 \end{pmatrix}t}*\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So mein Problem liegt darin, dass der Hinweis zur diagonalisierung der Matrix mir hier doch garnichts bringt, oder? Ausserdem scheint mir die Lösung viel zu einfach zu sein, da die aufgabe die meisten Punkte des ganzen Zettels geben.

18.04.2019, 23:25

Finn_

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Bis auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x'(0) \\ x''(0)\\ x''(0)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , was eigentlich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x(0) \\ x'(0)\\ x''(0)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein soll und die Lösung der durch $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ parametrisierte Vektor
$\begin{eqnarray*} u(t)=\begin{pmatrix}x(t) \\ y(t)\\ z(t)\end{pmatrix} = e^{tM}v \end{eqnarray*}$
sein muss, ist soweit alles richtig.

Es geht nun darum, dass
$\begin{eqnarray*} e^M = Te^ST^{-1} \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} M=TST^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt, falls $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ diagonal ist.

Dementsprechend ergibt sich wegen $\begin{eqnarray*} tM = t(TST^{-1}) = T(tS)T^{-1} \end{eqnarray*}$ auch
$\begin{eqnarray*} e^{tM} = Te^{tS}T^{-1}. \end{eqnarray*}$

18.04.2019, 23:49

Matrixxxx

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Danke für die schnelle Antwort!(nebenbei, das ist mein erster Post gewesen, daher habe ich leider ohne mir vorher einen Account zu erstellen diesen Post gemacht(kann also nix editieren)). Nun verstehe ich nicht ganz wie diese Funktion die Differentialgleichung löst, denn die eigendliche Gleichung war ja garnicht im |R^3 sondern nur 1-dimensional, wie gebe ich denn z.b. ein t in die Funktion ein und welche der Komponenten des Ausgabevektors ist dann meine Antwort? Ich habe die Formel
x(t) = $\begin{eqnarray*} e^{Mt}*v = e^{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 64 & 0 \end{pmatrix}t}*\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nochmal ausmultipliziert die Lösung ist nicht sonderlich schön:
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{matrix} \frac{-e^\left(16*t\right)+8*e^\left(8*t\right)+1}{8*e^\left(8*t\right)} \\ \frac{-e^\left(16*t\right)-1}{e^\left(8*t\right)} \\ \frac{-8*e^\left(16*t\right)+8}{e^\left(8*t\right)} \end{matrix}\right) \end{eqnarray*}$
was irgendwie meine Verwirrung noch steigert, denn wieso wurde denn der Tipp angegeben wenn man die Lösung nicht unbedingt "fertig" ausrechnen muss, bzw wieso ist die "fertige" (mithilfe des Tipps) Lösung so hässlich?

19.04.2019, 00:11

Finn_

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Kurz zur Theorie. Beachte
$\begin{eqnarray*} M^2 = TST^{-1}TST^{-1} = TS^2T^{-1}, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M^3 = M^2 M = TS^2T^{-1}TST^{-1} = TS^3T^{-1}, \end{eqnarray*}$
usw., was auf
$\begin{eqnarray*} M^k = TS^k T^{-1} \end{eqnarray*}$
führt.

Für die Matrizen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ lässt sich nun eine Norm $\begin{eqnarray*} \|M\| \end{eqnarray*}$ definieren, die, wenn sie submultiplikativ ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \|A\cdot B\|\le\|A\|\cdot \|B\| \end{eqnarray*}$ , den Matrizenraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ zu einer Banachalgebra macht.

Für eine Banachalgebra ist die Exponentialreihe
$\begin{eqnarray*} e^M := \sum_{k=0}^\infty \frac{M^k}{k!} \end{eqnarray*}$
für jedes Element $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ absolut konvergent.

Bei konvergenten Reihen dürfen konstante Faktoren ausgeklammert werden. Damit ergibt sich bei einer diagonalisierbaren Matrix dann
$\begin{eqnarray*} e^M = \sum_{k=0}^\infty \frac{(TST^{-1})^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty T \frac{S^k}{k!} T^k = T\left(\sum_{k=0}^\infty \frac{S^k}{k!}\right)T^k = Te^S T^{-1}. \end{eqnarray*}$

19.04.2019, 00:18

Matrixxxx

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Ich drücke mich vermutlich schlecht aus, aber kenne ich tatsächlich die mathematische theorie dahinter(was dasrechnen angeht zumindest) denn alle umstellungen wtc. die du gerade erwähnt hattest hatte ich schon in übungsaugaben zu beweisen.

19.04.2019, 00:30

Finn_

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Zitat:

..., denn die eigentliche Gleichung war ja garnicht im |R^3 sondern nur 1-dimensional, wie gebe ich denn z.b. ein t in die Funktion ein und welche der Komponenten des Ausgabevektors ist dann meine Antwort?

Die erste Komponente des Vektors
$\begin{eqnarray*} u(t)=\begin{pmatrix}x(t) \\ y(t)\\ z(t)\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$
Die anderen Komponenten sind $\begin{eqnarray*} y(t):=x'(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z(t):=y'(t)=x''(t) \end{eqnarray*}$ .

19.04.2019, 01:05

Finn_

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Der Lösungsvektor ist korrekt. Die Lösung x(t) lässt sich aber noch wesentlich vereinfachen. Beachte dann
$\begin{eqnarray*} \sinh(z) = \frac{e^z-e^{-z}}{2}. \end{eqnarray*}$

19.04.2019, 11:05

Matrixxxx

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Vielen Dank für die Hilfe! Ich war Gestern zu müde um die einfachsten Dinge zu sehen wie z.B. dass die erste Komponente des Lösungsvektors ja eben gleich x(t) ist.. Hammer

naja egal, ich habe die Lösung weiter umgeformt:
x(t) = $\begin{eqnarray*} \frac{-e^{16t} +8e^{8t} +1}{8e^{8t}}=\frac{\frac{-e^{16t}}{4e^{8t}} +2 +\frac{1}{4e^{8t}}}{2}=\frac{\frac{-1}{4}e^{8t} +2 +\frac{1}{4}e^{-8}}{2}=\frac{-1}{4}\frac{e^{8t} -8 -e^{-8}}{2}=\frac{-1}{4}(\frac{e^{8t} -e^{-8}}{2}-4)=\frac{-1}{4}(sinh(8t)-4)= 1-\frac{1}{4}sinh(8t) \end{eqnarray*}$

Dieses Ergebniss ist schon sehr viel schöner.

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