Berechnen einer Wahrscheinlichkeit

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eroy Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnen einer Wahrscheinlichkeit
Hallo zusammen,

bitte um Hilfe/Hinweise bei folgender Frage..

Zwei Menschen werfen jeweils eine unfaire Münze. Jeder Spielteilnehmer hat eine Münze, die im Durchschnitt x Mal aus y Würfen Kopf zeigt. Z.B. Der erste Teilnehmer hat eine Münze, die 1 Mal Kopf aus 4 Würfen zeigt und der zweite Spielteilnehmer hat eine Münze, die 3 Mal Kopf aus 4 Würfen zeigt. Beide Spielteilnehmer werfen ihre Münze abwechselnd. Der erste Spielteilnehmer beginnt. Der erste, der Kopf wirft, gewinnt. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Spielteilnehmer gewinnt.
Die korrekte Antwort des oben beschriebenen Falls beträgt 0.307692.

Wenn beide Spielteilnehmer so eine Münze haben, dass sie 1 Mal Kopf auf 2 Würfen zeigt, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Spielteilnehmer gewinnt, beträgt 0.666666.

Gibt es vielleicht eine Formel aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, die man anpassen könnte, und hier verwenden könnte? Für jeden Hinweis bin ich euch sehr dankbar!

Ich habe daran gedacht, so vorzugehen (bezogen auf das zweite Beispiel): Der erste Spielteilnehmer hat die Wahrscheinlichkeit im ersten Wurf 1/2 zu gewinnen. Wenn das nicht geschieht, dann wirft der zweite Spielteilnehmer. Da wir nur die Wahrscheinlichkeit des Gewinnes des ersten Spielteilnehmers betrachten wollen, gehen wir davon aus, dass der zweite keinen Kopf wirft, das tut er mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Nun wirft der erste Spielteilnehmer wieder und gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Da der Erwartungswert der Würfe des ersten Spielteilnehmers bei 2 Schritten liegt, ist das Spiel zu Ende nach 3 Würfen - insgesamt - 0.5 + 0.5/3 = 0.666666.
Leider funktioniert diese Strategie nicht für das erste Beispiel.. verwirrt
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnen einer Wahrscheinlichkeit
Man kann ja mal einfach systematisch rangehen für das Anfangsbeispiel:

Spieler 1 gewinnt, wenn
- er im 1. Wurf Kopf wirft oder
- er im 1. Wurf Zahl wirft und Spieler 2 danach Zahl und Spieler 1 danach Kopf oder
- usw. das Ganze fortgesetzt, so dass zuerst beide Spieler mehrmals Zahl werfen und dann schließlich Spieler 1 Kopf

Seien
die Wahrscheinlichkeit für Kopf auf Würfel 1
die Wahrscheinlichkeit für Kopf auf Würfel 2
das Ereignis "Spieler 1 gewinnt"
dann ist




Diese geometrische Reihe kannst Du sicher mit den Wahrscheinlichkeiten des Anfangsbeispiels berechnen und bestätigen, dass der angegebene Wert rauskommt.
eroy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnen einer Wahrscheinlichkeit
Hallo klauss, danke schön für deine Antwort!

Zitat:
Original von klauss



Wenn ich diese Formel auf das Beispiel anwende:

Zitat:
Original von eroy
Wenn beide Spielteilnehmer so eine Münze haben, dass sie 1 Mal Kopf auf 2 Würfen zeigt, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Spielteilnehmer gewinnt, beträgt 0.666666.


dann erhalte ich 0.625. Verstehe ich etwas falsch?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnen einer Wahrscheinlichkeit
Dein Zitat bezieht sich darauf, dass Spieler 1 spätestens bei seinem 2. Wurf bzw. nach insgesamt 3 Würfen gewinnt. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt 0,625. Da hast Du oben falsch gerechnet.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 überhaupt gewinnt, beträgt 2/3, was ebenfalls durch meine Summenformel bestätigt wird.
eroy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnen einer Wahrscheinlichkeit
Zitat:
Original von klauss
Dein Zitat bezieht sich darauf, dass Spieler 1 spätestens bei seinem 2. Wurf bzw. nach insgesamt 3 Würfen gewinnt. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt 0,625. Da hast Du oben falsch gerechnet.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 überhaupt gewinnt, beträgt 2/3, was ebenfalls durch meine Summenformel bestätigt wird.


Entschuldige bitte, ich verstehe nicht ganz. Was wäre dann in diesem Beispiel? Könntest du mir bitte kurz zeigen, wie du auf 2/3 gekommen bist?

Danke schön!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnen einer Wahrscheinlichkeit
Wenn A mit x und B mit y Kopf wirft dann ist



Das gilt auch wenn x=y=1/2 ist.

edit: du hast schon Antwort bekommen
edit2: @klauss: kannst du mal dein Latex umbrechen ?
 
 
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnen einer Wahrscheinlichkeit
ist für jedes Beispiel nur der Laufindex der geometrischen Reihe.
Setze doch , in die geometrische Reihe ein und rechne diese aus. Selbiges für das 1. Beispiel.
(Im Hochschulbereich macht man Analysis sicher zumeist vor Wahrscheinlichkeitsrechnung Augenzwinkern )



edit: 1. edit erledigt
eroy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnen einer Wahrscheinlichkeit
Zitat:
Original von klauss
ist für jedes Beispiel nur der Laufindex der geometrischen Reihe.


Zitat:
Original von Dopap
Wenn A mit x und B mit y Kopf wirft dann ist ...


Danke schön euch beiden!!
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