Konvergenz von Reihe mit Integral

23.04.2019, 20:36	Misfit	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihe mit Integral Meine Frage: Hallo liebes Matheforum, ich soll zeigen, dass die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{1}{n\cdot ln(n)^2} \end{eqnarray}$ konvergent ist und für ein $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein N finden, sodass $\begin{eqnarray} \| \sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{1}{n\cdot ln(n)^2} - \sum\limits_{n=2}^{N } \frac{1}{n\cdot ln(n)^2} \|< \epsilon \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Die Konvergenz der Reihe kann man ziemlich einfach durch das Intervallvergleichskriterium zeigen. Ich habe nur leider keine Idee, wie man ein N finden kann, sodass die angegebene Ungleichung erfüllt ist. Ich hätte so angefangen, die Ungleichung zu $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=N+1}^{\infty } \frac{1}{n\cdot ln(n)^2} < \Epsilon \end{eqnarray}$ umzuformen. Ich komme damit aber nicht weiter. Ich würde mich wirklich freuen, wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte, wie man weiter vorgehen sollte.
24.04.2019, 13:18	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Reihe mit Integral Im Prinzip liefert die Idee beim Intervallvergleichskriterium einen möglichen Ansatz: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=N+1}^{\infty } \frac{1}{n\cdot ln(n)^2} < \int_{N}^{\infty } \frac{1}{x \cdot ln(x)^2} ~dx < \epsilon \end{eqnarray}$ Das Integral läßt sich relativ leicht ausrechnen.

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