Konvergenz einer Reihe mittels Integralvergleichkriterium

23.04.2019, 22:24

Malou2016

Konvergenz einer Reihe mittels Integralvergleichkriterium

Meine Frage:
Untersuchen sie die folgende Reihe auf Konvergenz!

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^{\infty } \frac{1}{nln(n)\sqrt{ln(ln(n))} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe mir bereits überlegt, dass ich die Konvergenz über das Intervallvergleichkriterium für Reihen löse:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{2}^{\infty} \frac{1}{xln(x)\sqrt{ln(ln(n))}} dx \end{eqnarray*}$

Dieses Integral und damit ja auch die Reihe müsste divergent sein.

Nun bin ich mir aber nicht sicher, wie ich das zeige. Ich hätte an partielle Integration gedacht. Aber irgendwie komme ich nicht weiter.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

24.04.2019, 00:16

Helferlein

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Versuchs mal mit der Substitution $\begin{eqnarray*} t=ln(ln(x)) \end{eqnarray*}$

24.04.2019, 09:59

Malou,2016

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Substitution

Zitat:

Original von Helferlein
Versuchs mal mit der Substitution $\begin{eqnarray*} t=ln(ln(x)) \end{eqnarray*}$

Die Idee hatte ich auch schon. Aber irgendwie kam ich damit auch nicht weiter.
Wie wäre denn der nächste Schritt?
Vermutlich habe ich einfach nur einen Knoten im Kopf.

24.04.2019, 10:39

klarsoweit

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RE: Substitution
Dann zeig doch mal, was du rechnest. Oder denkst du, wir hätten eine Glaskugel?

Als erstes mußt du die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} \end{eqnarray*}$ bilden.

24.04.2019, 11:17

Malou,2016

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RE: Substitution

Zitat:

Original von klarsoweit
Dann zeig doch mal, was du rechnest. Oder denkst du, wir hätten eine Glaskugel?

Als erstes mußt du die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} \end{eqnarray*}$ bilden.

Danke!
Wenn ich da nun nichts falsch gemacht habe, müsste da
$\begin{eqnarray*} \lim_{R \to \infty } \left[2\sqrt{ln(ln(x))} \right]_{2 }^{R} \end{eqnarray*}$
herauskommen.

Wenn ich das nun aber berechne, mittels einsetzen usw. müsste ich ja auch
$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{ln(ln(2))} \end{eqnarray*}$
berechnen. Und das ist ja nicht definiert. Wie gehe ich da weiter vor?

24.04.2019, 11:25

klarsoweit

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RE: Substitution
Da bist du in der Tat auf das Problem gestoßen, daß die Summe von Anfang an nicht wohldefiniert war. Ich würde jetzt mal die Summe mit n=3 beginnen lassen und den Aufgabensteller dezent auf dieses Problem hinweisen. smile

24.04.2019, 11:40

Malou,2016

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RE: Substitution

Zitat:

Original von klarsoweit
Da bist du in der Tat auf das Problem gestoßen, daß die Summe von Anfang an nicht wohldefiniert war. Ich würde jetzt mal die Summe mit n=3 beginnen lassen und den Aufgabensteller dezent auf dieses Problem hinweisen. smile

Das werde ich auf jeden Fall mal ansprechen.
Aber wie kann ich aus dem nun Ergebnis die Konvergenz ablesen?
Das Integral und damit auch die Reihe müssten meines Erachtens nach divergent sein. Aber dann müsste ja
$\begin{eqnarray*} \lim_{R \to \infty } 2\sqrt{ln(ln(R))} = \infty \end{eqnarray*}$
gelten. Und es wirkt min nicht so, dass das so ist.

24.04.2019, 12:40

klarsoweit

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RE: Substitution
Ob es so wirkt oder nicht, es ist divergent. ln(R) divergiert gegen unendlich, woraus sich dann auch der Rest ergibt.

24.04.2019, 12:45

Malou,2016

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RE: Substitution

Zitat:

Original von klarsoweit
Ob es so wirkt oder nicht, es ist divergent. ln(R) divergiert gegen unendlich, woraus sich dann auch der Rest ergibt.

Vielen Dank!

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