Wie berechnet man diese bedingten Wahrscheinlichkeiten mathematisch korrekt?

24.04.2019, 01:47

Sabina16

Wie berechnet man diese bedingten Wahrscheinlichkeiten mathematisch korrekt?

Hallialo,
ich habe ein paar Problemchen bei diesen Aufgaben hier und hoffe ihr könnte mir helfen

Aufgaben:
Eine Urne enthält drei schwarze und zwei weiße Kugeln, eine zweite Urne enthält zwei schwarze
und drei weiße Kugeln. Eine faire Münze wird geworfen um zu entscheiden, aus welcher Urne ¨
gezogen wird. Man zieht dann nacheinander mit Zurücklegen zwei Kugeln aus der gewählten
Urne.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel schwarz ist?
(b) Wie groß die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel schwarz ist, falls die erste Kugel
schwarz ist?
(c) Wie groß die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel schwarz ist, falls die Urne mit drei
schwarzen Kugeln gewählt wurde und die erste Kugel schwarz ist?
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Urne mit drei schwarzen Kugeln gewählt
wurde, falls die erste Kugel schwarz ist?

Gebe Sie einen mathematisch korrekten Lösungsweg bezüglich der bedingten Wahrscheinlichkeiten an.

Meine Versuch
Ich definiere erst einmal folgende Abkürzungen:
U1 = Urne 1
U2 = Urne 2
S1 = schwarze Kugel 1
S2 = schwarze Kugel 2
W1 = weiße Kugel 1
W2 = weiße Kugel 2

Zu (a)

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(a) = \mathbb{P}(U_1) \cdot \mathbb{P}(S_1|U_1) \cdot \mathbb{P}(S_1|U_1 \cap S_1) + \mathbb{P}(U_1) \cdot \mathbb{P}(W_1|U_1) \cdot \mathbb{P}(S_1|U_1 \cap W_1) + \mathbb{P}(U_2) \cdot \mathbb{P}(S_2|U_2) \cdot \mathbb{P}(S_2|U_2 \cap S_2) + \mathbb{P}(U_2) \cdot \mathbb{P}(W_2|U_2) \cdot \mathbb{P}(S_2|U_2 \cap W_2) \cdot \end{eqnarray*}$

Zu (b)

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(b) = \mathbb{P}(U_1) \cdot \mathbb{P}(S_1|U_1) \cdot \mathbb{P}(S_1|U_1 \cap S_1) + \mathbb{P}(U_2) \cdot \mathbb{P}(S_2|U_2) \cdot \mathbb{P}(S_2|U_2 \cap S_2) \end{eqnarray*}$

Zu (c) Hier entfällt nun der Münzwurf,es liest sich für mich jedenfalls so.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(c) = \mathbb{P}(S_1) \cdot \mathbb{P}(S_1|S_1) \end{eqnarray*}$ bzw hier könnte auch nur $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(S_1|S_1) \end{eqnarray*}$ korrekt sein, nur bin ich mir überhaupt nicht sicher unglücklich

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(S_1|S_1) \end{eqnarray*}$

Zu (d)

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(d) = \mathbb{P}(U_1) \cdot \mathbb{S_1}(U_1) \cdot \mathbb{P}(S_1|U_1 \cap S_1) \end{eqnarray*}$

Das große Problem liegt nun darin, dass ich nicht verstehe, wie ich die Wahrscheinlichkeiten berechnen soll, denn nach der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten gilt:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(A | B) :=\frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \end{eqnarray*}$ , nur wie komme ich auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(A \cap B) \end{eqnarray*}$ ?

Ich glaube ich habe gerade nur ein Brett vor dem Kopf und brauche deswegen dringend Hilfe.

Ich bedanke mich im Voraus

24.04.2019, 08:30

Finn_

Wie berechnet man diese bedingten Wahrscheinlichkeiten mathematisch korrekt?

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