Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung |
24.04.2019, 15:19 | dubbox | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung Ich habe dieses Semester einiges an DGL Rechnungen vor mir und würde das Ganze gerne wirklich verstehen anstatt einfach nur anzuwenden. Deswegen entschuldigt schon mal vermeidlich unsinnig erscheinende Fragen Wir haben in diesem Fach auch eine völlig neue Notation, deswegen tue ich mich etwas schwer mein bisheriges Wissen hier anzuwenden. Erstmal die Aufgabe: Ich soll von folgendem inhomogenen linearen Anfangswertproblem folgendes bestimmten 1) homogene Differentialgleichung und die dazugehörige homogene Lösung 2) Ansatz für die partikuläre Lösung 3) Die allgemeine Lösung des Problems sowie die spezielle Lösung Die gegebene DGL ist mit Meine Ideen: Im folgenden ist und Lösung zu 1) Als Ansatz benutze ich hier wie im Skript beschrieben wobei ich suche. Ist das bei dieser Form von DGL einfach immer so der Fall? Wenn das jedenfalls so ist kann man mit bestimmen. Ich komme also auf da Lösung zu 2) Im Skript finde ich hier folgendes, Der Ansatz für die partikuläre Lösung lautet wenn es sich um eine inhomogene lineare DGL 1.Ordnung handelt. Ist dies immer der Fall? Dann wäre unser Ansatz hier Jetzt überspringe ich das Einsetzten von dem Ansatz, da hier direkt die allgemeine Lösung hergeleitet wird, ist dies wirklich allgemein, also kann ich mir das einsetzten mit Variation der Konstanten sparen? Ich meine hiermit den Term der auf eben dies reduziert wurde. Jedenfalls hätten wir damit Lösung zu 3) Die allgemeine Lösung ist (ich habe aber ja c eigentlich schon oben bestimmt, war das falsch? Eigentlich will ich es ja solange allgemein halten, bis ich die spezielle Lösung angebe oder?) Die spezielle Lösung der DGL ergibt sich mit zu |
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24.04.2019, 16:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung
Hier geht es schon durcheinander. Für die homogene DGL ist die allgemeine Lösung. An dieser Stelle ist es auch nicht erforderlich, das c zu bestimmen, denn die Anfangsbedingung gilt für die komplette DGL und nicht nur für die homogene DGL.
Ja, das ist das prinzipelle Vorgehen.
Mal abgesehen davon, daß es heißen müßte, erscheint mir das Vorgehen insgesamt fragwürdig. Das zeigt sich auch dadurch, daß x_p(t) = t keine Lösung der DGL ist. |
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24.04.2019, 16:40 | dubbox | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke, ich habe die von dir bemerkten Schreibfehler oben editiert! Zu deiner Antwort: Im Skript ist das wie folgt beschrieben: Jetzt soll durch einsetzen in die inhomogene DGL folgendes entstehen (ich verstehe die Umformung von nicht ganz) Mit Integration kommt man auf damit wird . Also müsste ich das ja auch in diesem Beispiel benutzen können oder? |
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25.04.2019, 08:41 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung
Die rechte Seite ist ganz einfach die Ableitung von x_p(t) nach t.
Da übersiehst du, daß das b keine Konstante, sondern eine von t abhängige Variable ist. Unterm Strich hast du also: Davon brauchst du nun eine Stammfunktion. Falls du damit Schwierigkeiten hast, kannst du es mit dem Ansatz versuchen. |
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29.04.2019, 09:05 | dubbox | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ah okay, also da mein die Variable enzhält, muss ich dies natürlich in meiner Integration berücksichtigen. Den von dir genannten Ansatz verstehe ich nicht ganz, auf welche Art hilft dieser mir? Ich habe das so wie ich immer Aufleite berechnet (wahrscheinlich nicht der schlauste Weg ) Komme auf folgendes Ergebnis Für die allgemeine Lösung habe ich ja jetzt aus den beiden vorherigen Lösungen oder ist das nur ein ? Also wäre meine allgemeine Lösung Und meine spezielle Lösung wäre mit |
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29.04.2019, 10:28 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der war nur gedacht, falls du Probleme beim Bilden einer Stammfunktion (= "aufleiten" - igitt) hast.
Die Integrationskonstante C kannst du hier weglassen. Wir brauchen nur eine Stammfunktion. Allerdings ist c(t) nicht gleich x_p(t). Wir hatten da den Ansatz (siehe weiter oben) . |
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29.04.2019, 11:00 | dubbox | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ah, das hab ich übersehen, gut dann ist es also Also wäre meine allgemeine Lösung und die spezielle Lösung wäre |
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29.04.2019, 11:13 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn du noch das Produkt zusammenfaßt, wäre das Ziel erreicht. |
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03.05.2019, 18:25 | dubbox | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke dir für die grandiose Hilfe mal wieder ! mit deiner Ergänzung ergibt das also |
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