Grenzwert zweier Funktionen mit Logarithmus und Fakultät

24.04.2019, 16:18

Marina232

Grenzwert zweier Funktionen mit Logarithmus und Fakultät

Meine Frage:
Hallo. Da ich bald mit der Schule fertig bin und anschließend gerne studieren möchte, habe ich mir ein Buch zur Vorbereitung für Mathe im Studium gekauft. Dort sind auch viele Aufgaben sehr gut erklärt. Jetzt ist hier eine Aufgabe bei der bin ich etwas ratlos.

Gegeben sind zwei Logarithmusfunktionen in einem Bruch und der Grenzwert der beiden ist gesucht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{log (n!)}{log(n^n)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe jetzt umgeformt nach: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{log (n!)}{log(n^n)} = \lim_{n \to \infty } \frac{log (n!)}{n* log(n)} \end{eqnarray*}$

Der Zähler geht gegen $\begin{eqnarray*} \infty und der Nenner auch also \frac{\infty}{\infty} = 1 (?) \end{eqnarray*}$

24.04.2019, 16:21

MaPalui

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Hi Marina,

gut, dass dies vor dem Studium geklärt wird, bitte also ganz schnell wieder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty}=\frac{0}{0} = 1 \end{eqnarray*}$ vergessen Augenzwinkern

Sorry, falsch gelesen. Nun ein neuer Ansatz:
Wie ist denn $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ definiert?

24.04.2019, 16:25

Marina232

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Genau, in dem Kapitel geht es um l'Hospital. Soll man hier dann die Ableitung der beiden Funktionen betrachten?

Also: $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x!}}{n*\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$ ?

24.04.2019, 16:28

G240419

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n^n wächst schneller als n! --> Grenzwert ist 0.

24.04.2019, 16:29

MaPalui

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Das würde mich dann doch sehr wundern, denn eine Ableitung der Fakultät ist (an dieser Stelle) nicht definiert.
Wenn es um Übungen für die genannte Regel gilt, muss ich an dieser Stelle passen.
Ich würde daher mal die Definition von $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ anwenden und schauen, was man mit den log-Gesetzen damit so anstellen kann.

24.04.2019, 16:34

Marina232

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Also so wirklich definiert ist n! hier nicht. Es steht in der Aufgabe noch: "Man betrachtet nur den ganzzahligen Anteil von n, also bspw. n=3 $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} =1 \end{eqnarray*}$

24.04.2019, 16:35

MaPalui

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G240419, danke für deinen Tipp. Aber dann muss ich mich doch sehr über die Wahl der Aufgabe im genannte Kapitel wundern verwirrt

An Marina:
Scheinbar haben wir nicht alle Infos erhalten. Poste doch einmal bitte die ganze Aufgabe. Gerne auch als Bild, was du mit dem unteren Button "Dateianhänge" hochladen kannst.

24.04.2019, 16:38

adiutor62

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Die Ableitung von n! ist:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=derive+(n!)

Das dürfte noch zu hoch sein für dich. smile

24.04.2019, 16:40

Marina232

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Ok, das sieht wirklich nicht gut aus unglücklich

Schade, dass es keine halbwegs "normale" (aus meiner Sicht) Lösung gibt. Bei den Aufgaben hier im Kapitel habe ich fast nur Probleme gehabt.

24.04.2019, 16:42

MaPalui

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Zitat:

Original von Marina232
Also so wirklich definiert ist n! hier nicht. Es steht in der Aufgabe noch: "Man betrachtet nur den ganzzahligen Anteil von n, also bspw. n=3 $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} =1 \end{eqnarray*}$

Auch hier steige ich leider nicht genau durch unglücklich

Warum hast du denn nun $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ betrachtet?
Hast du dich vielleicht in der Aufgabenstellung verschrieben?

Und wenn du sagst "Wir betrachten nur den ganzzahligen Anteil", dann ist diese Angabe (mit ein paar anderen?) irgendwo festgehalten. $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ nämlich ist immer ganzzahlig.

24.04.2019, 16:42

Marina232

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Zitat:

Original von MaPalui
G240419, danke für deinen Tipp. Aber dann muss ich mich doch sehr über die Wahl der Aufgabe im genannte Kapitel wundern verwirrt

An Marina:
Scheinbar haben wir nicht alle Infos erhalten. Poste doch einmal bitte die ganze Aufgabe. Gerne auch als Bild, was du mit dem unteren Button "Dateianhänge" hochladen kannst.

Mein Fehler ich sehe hier steht noch $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

24.04.2019, 19:44

HAL 9000

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Schätze den Zähler geeignet ab.

Nach unten z.B. durch ein Integral: $\begin{eqnarray*} \ln(n!) = \sum_{k=2}^n \ln(k) \geq \int\limits_1^n \ln(x) ~ \dd x = n\ln(n)-n+1 > n\ln(n)-n \end{eqnarray*}$

Nach oben ganz simpel und grob: $\begin{eqnarray*} \ln(n!) = \sum_{k=1}^n \ln(k) \leq n\ln(n) \end{eqnarray*}$

Das ergibt das Sandwich: $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{\ln(n)} < \frac{\ln(n!)}{\ln\left(n^n\right)} \leq 1 \end{eqnarray*}$

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