Taylorentwicklung ln(1/(1-x))

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SM!LE Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorentwicklung ln(1/(1-x))
Guten Tag,

ich sitze derzeit an der Taylorentwicklung von .

Zuerst habe ich exemplarisch einige Ableitungen gebildet:



Bei der Teilaufgabe zuvor sollte die Taylorreihe für bestimmt werden. Allgemein gilt ja dann für die Ableitungen:

Und an dieser Stelle hänge ich gerade bei Teilaufgabe b).
Ich weiß nicht wie ich den allgemeinen Ausdruck für die Ableitungen des Ausdrucks angebe, da ja nur bei der 0. Ableitung ein ln auftaucht.


Des Weiteren soll noch die Konvergenz für die beiden entstandenen Reihen nachgewiesen werden.
Kann ich in diesem Fall das Quotientenkriterium verwenden?

Wenn ja, dann einfach für ein exemplarisch durchführen?

Vielen Dank für die Hilfe.


Mit freundlichen Grüßen
SM!LE
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo SM!LE,

schau nochmal genau bei der dritten Ableitung, dort sollte ein Minus vorstehen.
Und in Teilaufgabe (a) hast du also die Taylorentwicklung von berechnet. Das war ja kein Zufall Augenzwinkern
Schreibe dir doch einmal die beiden Funktionen mit den gebildeten Ableitungen nebeneinander und schaue, wie sie in Beziehung stehen.

Zu deiner zweiten Frage:
Was meinst du mit "für ein n exemplarisch durchführen"?
Du musst natürlich den Grenzwert von dem dir genannten Bruch bilden. (Was stellt eigentlich diese Summe dar?)
Und was könnte beim Bilden eines Bruches ein Hindernis sein?

LG
Maren
SM!LE Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MaPalui
...schau nochmal genau bei der dritten Ableitung, dort sollte ein Minus vorstehen.


Sicher, dass da ein Minus vor der 3. Ableitung stehen sollte?



Das Minus von der äußeren Ableitung verschwindet doch durch die Multiplikation mit der inneren Ableitung.

Zitat:
Original von MaPalui
Und in Teilaufgabe (a) hast du also die Taylorentwicklung von berechnet. Das war ja kein Zufall Augenzwinkern
Schreibe dir doch einmal die beiden Funktionen mit den gebildeten Ableitungen nebeneinander und schaue, wie sie in Beziehung stehen.


Den Zusammenhang mit habe ich gesehen, wenn du den meintest.
Jedoch bin ich mir nicht sicher ob dann der allgemeine Ausdruck für die Ableitungen von gilt?

Das ergab für mich keinen wirklichen Sinn, da bei i=0 eine negative Fakultät entsteht.
Sollte der allgemeine Ausdruck für die Ableitungen wieder erwarten richtig sein, muss ich meine Taylorreihe dann bei i=1 beginnen?

Zitat:
Original von MaPalui
Zu deiner zweiten Frage:
Was meinst du mit "für ein n exemplarisch durchführen"?


Hatte mir die Frage schon selber beantwortet. Ich wollte an der Stelle wissen, ob man den Grenzwert allgemein bestimmt oder für ein spezielles z.B. n=3.
Aber es macht ja keinen Sinn das nur für ein spezielles n zu machen.

Zitat:
Original von MaPalui
Du musst natürlich den Grenzwert von dem dir genannten Bruch bilden. (Was stellt eigentlich diese Summe dar?)


Diese Summe stand für eine beliebige Taylorreihe, aber im Nachhinein betrachtet machte das = dazwischen dann wenig Sinn.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SM!LE
Zitat:
Original von MaPalui
...schau nochmal genau bei der dritten Ableitung, dort sollte ein Minus vorstehen.


Sicher, dass da ein Minus vor der 3. Ableitung stehen sollte?



Sorry, du hast natürlich Recht.
Hatte es mir anders aufgeschrieben, aber bei ungeraden Exponenten macht die Reihenfolge in der Klammer natürlich einen Unterschied.

Ich bin gerade noch im Zug, schaue aber gleich wieder rein. Natürlich kann ein Kollege jederzeit einhaken.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich wieder.

Der Fall als "nullte Ableitung" ist ohnehin als Spezialfall definiert mit .

In vielen Fällen ist das kompatibel mit der kompakten Summenschreibweise.
Es spricht nun nichts gegen .

LG Maren
SM!LE Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Vielen Dank smile

Hab jetzt folgendes als Ergebnis für :





Und für die Konvergenznachweise, für alle , hätte ich folgendes:

1) Für



2) Für



Kann man den Konvergenznachweis so schreiben ?
 
 
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