Ungleichung beweisen

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nluap Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung beweisen
Meine Frage:
Hi,

ich will zeigen, dass für die Funktion f(x) = betrag(x^5 - 8x^2 + 4)
gilt f(x) >= 4 für alle betrag(x) >= 2

Meine Ideen:
Meine Überlegung ist:
Ich berechne zuerst den Funkktionswert an der Stelle x = 2
Danach kann ich entweder zeigen, dass die Funktion f(x) = x^5 - 8x^2 + 4
a) streng monoton wachsend für x>=2 und gleichzeitig streng monoton fallend für x<= 2 ist. Oder andersrum streng monoton wachsend für x<=2 und gleichzeitig streng monoton fallend für x>= 2
b) f'(x) >= 0 für x>= 2 und f'(x) <= 0 für x<= 2

Allerdings weiß ich nicht, wie ich das machen soll. Kann mir da jemand weiterhelfen ?
wäre sehr dankbar
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Monotoniewechsel findet jedenfalls an den Extremstellen statt. Außerdem hier auch bei den Nullstellen, denn dort wechselt infolge der Betragsfunktion ebenfalls das Vorzeichen der ganzen Funktion.
(Alle) diese befinden sich innerhalb des Intervalls ]-2; 4] und es ist f(2) = 4

Also genügt das Vorzeichen der Funktionswerte und das der 1. Ableitung links von x = -2 und rechts ab x = 2



mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@nluap

Betrachte und weise nach sowohl für sowie auch . Dann folgt nämlich für als auch (und damit ) für .
nluap Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank an Euch beiden, ihr habt mir sehr geholfen !
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