Stetigkeit

08.05.2019, 10:48

s j

Stetigkeit

Meine Frage:
Ist die Funktion:

f(x,y)=x^y . y . ln x

stetig in (0,0)?

Meine Ideen:
Sicher ist:

lim_(x to 0) lim_(y to 0) f(x,y) = lim_(y to 0) lim_(x to 0) f(x,y) = 0.

08.05.2019, 12:16

HAL 9000

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Für welche $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ soll denn diese Definition $\begin{eqnarray*} f(x,y):=x^y\cdot y\cdot\ln(x) \end{eqnarray*}$ überhaupt gelten? Jedenfalls nicht für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ , insofern macht eine Stetigkeitsbetrachtung im Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ überhaupt nur dann Sinn, wenn du die Funktion in diesem Punkt auch noch definierst!

Und wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \lim_{y\to 0} \lim_{x\to 0} f(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ ? Wenn ich ein festes $\begin{eqnarray*} y<0 \end{eqnarray*}$ betrachte, dann gilt z.B. $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0} x^y\cdot y\cdot \ln(x) = \infty \end{eqnarray*}$ , insofern haben wir auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} \lim_{y\nearrow 0} \lim_{x\searrow 0} x^y\cdot y\cdot \ln(x) = \infty \end{eqnarray*}$ .

09.05.2019, 18:45

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ziehe x^y runter als Nenner, dann via l´Hospital-Regel erhälst du lim(y to 0)lim(x to 0) f(x,y) = 0. Das ist aber nicht genug für die Stetigkeit in (0,0). Die Funktion f ist natürlich definiert in (0,1]x[0,1] und 0 in (0,0).

09.05.2019, 19:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von sj
Die Funktion f ist natürlich definiert in (0,1]x[0,1] und 0 in (0,0).

"Natürlich" ist das hier keineswegs: Wenn man es nicht dazu sagt, dann geht man vom maximalen reellen Definitionsbereich aus, und der war hier $\begin{eqnarray*} (0,\infty)\times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Der Grenzwert existiert aber auch trotz dieses so eingeschränkten Definitionsbereichs nicht: Wählt man die Nullfolge $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n) = \left( 2^{-n}, \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$ , so gilt

$\begin{eqnarray*} f\left(x_n,y_n\right) = \left(2^{-n}\right)^{\frac{1}{n}}\cdot \frac{1}{n}\cdot \ln\left(2^{-n}\right) = -\frac{\ln(2)}{2}\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

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