Beweis Menge ist Basis eines Vektrorraumes R^2

11.05.2019, 10:24	Matheinteressiert	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Menge ist Basis eines Vektrorraumes R^2 Hallo zusammen, für euch ist das vermutlich eine sehr simple Aufgabe, aber mir ist es wichtig das jemand einmal meine Schritte überprüft und Verbesserungspotential aufzeigt. Jedem fleißigen Helferlein ein ganz herzliches Dankeschön vorab. Aufgabe: Es seien $\begin{eqnarray} x,y\in \mathbb{R^2} \end{eqnarray}$ Punkte, welche nicht gemeinsam auf einer Geraden durch den Nullvektor $\begin{eqnarray} (0,0)\in \mathbb{R^2} \end{eqnarray}$ liegen. Zeigen Sie, dass die Menge $\begin{eqnarray} \left\{ x,y\right\} \end{eqnarray}$ den Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb{R^2} \end{eqnarray}$ erzeugen. Mein Lösungsansatz: z.Z. $\begin{eqnarray} \left\{x,y \right\} \end{eqnarray}$ ist eine Basis und erzeugt den Vektorraum $\begin{eqnarray} V=\mathbb{R^2} \end{eqnarray}$ Beweisführung: Sei $\begin{eqnarray} V=\mathbb{R^2} \end{eqnarray}$ ein Vektorraum über dem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Weiterhin sei $\begin{eqnarray} A=\left\{ x,y\right\}\subset \mathbb{R^2} \end{eqnarray}$ Teilmenge. Für diese gilt, dass z.B. $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2)\ne (0,0) \wedge x\in U=\mathbb{R}x\subset \mathbb{R^2} \end{eqnarray}$ auf einer Geraden, d.h. einem 1-dimensionalen Untervektorraum, liegt und diesen erzeugt, also eine 1-dimensionale Basis darstellt. Für das zweite Element des Vektorraumes $\begin{eqnarray} y\in\mathbb{R^2} \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} y\notin \mathbb{R}x \end{eqnarray}$ kein Element des Untervektorraumes $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist, d.h. $\begin{eqnarray} y\ne \mathbb{R}x \end{eqnarray}$ kein Vielfaches darstellt. Dies bedeutet, dass die Vektoren $\begin{eqnarray} x,y\subset \mathbb{R^2} \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind. Da $\begin{eqnarray} x,y\in A\subset V=\mathbb{R^2} \end{eqnarray}$ Teilmenge von V ist, liegen in der linearen Hülle $\begin{eqnarray} <A>=\left\{\sum\limits_{k=1}^{n} \Lambda_{k}a_{i}\|r\in \mathbb{N},\lambda_{i}\in\mathbb{R},a_{i}\in A \right\}\subset V=\mathbb{R^2} \end{eqnarray}$ alle Vektoren, die durch die Basisvektoren $\begin{eqnarray} a_{i} \end{eqnarray}$ erzeugt werden. Sie spannen sozusagen den Untervektorraum <A> auf. Da $\begin{eqnarray} a_{1}=x=(x_1,x_2),a_{2}=y=(y_1,y_2)\in <A> \end{eqnarray}$ folgt daraus, dass diese wegen der Teilmengendefinition auch in $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ liegen. Da die Basis der linearen Hülle die Dimension 2 hat, und dies die Dimension des Vektorraumes $\begin{eqnarray} V=\mathbb{R^2} \end{eqnarray}$ ist, sind lineare Hülle und Vektorraum V gleicher Dimension. Also list die Basis von <A> auch Basis von V und spannt diesen somit auf. Ist das so halbwegs nachvollziehbar und korrekt oder mus ich da noch etwas korrigieren? MfG Matheinteressiert
11.05.2019, 11:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Stehen in der Aufgabe nun Punkte und Geraden (geometrische Objekte) oder Vektoren (Objekte der linearen Algebra) ? Du sollst nur zeigen, dass x und y ein Erzeugendensystem bilden, Basis ist nicht nötig. Warum machst du die Aufgabe schwerer, als sie ist ? Wo zeigst du die lineare Unabhängigkeit von x und y ? "Sei $\begin{eqnarray} V=\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ein Vektorraum über dem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ." So kann man das nicht sagen, denn es ist keine Annahme sondern eine Tatsache. "Weiterhin sei $\begin{eqnarray} A=\{x,y\}\subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ..." Ebenso . WARUM ist $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2)\ne (0,0) \end{eqnarray}$ ? Behaupten kann man vieles, man muss alles beweisen. "... auf einer Geraden, d.h. einem 1-dimensionalen Untervektorraum ..." Siehe oben: Geometrie oder lineare Algebra ? Warum ist $\begin{eqnarray} y\notin \mathbb Rx \end{eqnarray}$ ? Die lineare Hülle $\begin{eqnarray} <A> \end{eqnarray}$ ist ganz merkwürdig definiert. Warum setzt du $\begin{eqnarray} a_1=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_2=y \end{eqnarray}$ ? Neue Namen für alte Vektoren, sehr überflüssig. Warum summierst du über k von 1 bis n, obwohl nur die beiden Elemente $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ liegen ? Viel zu aufwendig. "Da die Basis der linearen Hülle die Dimension 2 hat, ..." falsch formuliert, siehe Definition Basis und Definition Dimension. Bitte präziser, prägnanter und richtiger arbeiten.
11.05.2019, 12:42	Matheinteressiert	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, Der Wortlaut ist der Aufgabe ist genauso wie ich geschrieben hatte.deshalb verwirrt es mich etwas weil ich angenommen hatte dass die Begriffe der Geometrie auch für die LA gelten. Wie zeige ich denn ein erzeugendensystem?
11.05.2019, 12:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du diese Aufgabe wortwörtlich aufgeschrieben hast, dann musst du zunächst einmal klären, was die Begriffe und Bezeichnungen bedeuten. $\begin{eqnarray} (a,b)\in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ kann ein Punkt oder ein Vektor sein, je nachdem ob $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ die euklidische Ebene oder mit den geeigneten Verknüpfungen ein Vektorraum ist. Punkte kann man nicht addieren, Vektoren kann man addieren. Eine Gerade kann durch den Punkt (0,0) gehen, sie kann nicht durch den Vektor (0,0) gehen. Von daher ist die Aufgabe nicht sinnlos, aber sehr schlecht formuliert. Lass dich niemals von schlecht formulierten Aufgaben auf ein solches Niveau herunterziehen. Präzisiere die Aufgabenstellung und führe den Beweis so, dass du und ich damit zufrieden sein können. Bedenke dabei, dass ich so gut wie nie mit einem Beweis zufrieden bin, denn es geht immer noch besser. "Wie zeige ich denn ein erzeugendensystem?" ist keine sinnvolle Frage. "Wie beweist man, dass eine gegebene Teilmenge A eines Vektorraums V ein Erzeugendensystem von V ist ?" ist eine sinnvolle Frage. Die Antwort darauf lautet: Man beweist <A>=V. (Genau deswegen habe ich deine obskure Definition von <A> bemängelt.)

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