Integralgrenzen beim Kurvenintegral

11.05.2019, 23:52	Calli	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralgrenzen beim Kurvenintegral Meine Frage: Ich möchte die Arbeit, die ein Kraftfeld F(r) an einem Massepunkt verrichtet ,berechnen. Der Massepunkt soll sich dabei entlang einer Geraden vom Ursprung zu einem Punkt (t,t,t) bewegen. Meine Ideen: Ich habe erstmal für die Kurve gesetzt r(t) = (t,t,t) Dann gilt ja für das Integral: $\begin{eqnarray} W = \int_{0}^{(t,t,t)} \! F(r) \, dr = \int_{0}^{} \! F(r(t)) \, \frac{dr}{dt} dt<br /> \end{eqnarray}$ Mir ist schon grundsätzlich klar wie ich F(r(t)) und die Ableitung von r nach t berechnen muss und dann das Skalarprodukt bilden sollte. Aber ich bin mir unschlüssig von wo bis wo. Von 0 bis 1? Oder doch von 0 bis t?
12.05.2019, 00:34	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralgrenzen beim Kurvenintegral Parametrisiert man $\begin{eqnarray} r(t)=\begin{pmatrix} t \\ t \\ t \end{pmatrix} ;t\in [0;1] \end{eqnarray}$ wäre der Endpunkt (1 \| 1 \| 1). Soll der Endpunkt flexibel sein, ist ein Parameter als Obergrenze zu setzen, da die Integrationsvariable t nicht in den Integrationsgrenzen erscheinen darf. Also $\begin{eqnarray} r(t)=\begin{pmatrix} t \\ t \\ t \end{pmatrix} ;t\in [0;x] \end{eqnarray}$ Damit $\begin{eqnarray} W(x)=\int_{0}^{x} F\left[r(t)\right]r'(t) \, dt \end{eqnarray}$ Gibt es konkrete Zahlen dazu? Ich würde es ggf. gern selbst nachrechnen.
12.05.2019, 12:44	Calli	Auf diesen Beitrag antworten »
Es soll gelten: $\begin{eqnarray} F(x,y,z) = \begin{pmatrix} \frac{6}{t^2}x^2 \\ \frac{12}{t^3}xyz\\ \frac{2}{t}z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit t=const. und die Arbeit vom Ursprung zum Punkt (t,t,t) berechnet werden. Sollte man dann vielleicht besser r nicht in Abhängigkeit von t sondern was anderem parametrisieren? Also: $\begin{eqnarray} W = \int_{0}^{t} \! F(r(k)) \frac{dr}{dk} \, dk \end{eqnarray}$ mit r(k) = (k,k,k) Dann käme ich auf: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{t} \! \frac{6}{t^2}k^2 + \frac{12}{t^3} k^3 + \frac{2}{t} k dk = \left[\frac{2}{t^2}k^3 +\frac{3}{t^3}k^4 +\frac{1}{t} k^2 + C \right] \end{eqnarray}$ C=0? Mit den Grenzen k=0 und k=t müsste das Ergebnis dann ja 6t sein.
12.05.2019, 17:13	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, t ist auch noch in F enthalten. Da t ein fester Parameter ist, bekommt r noch einen anderen Buchstaben als Variable. Ja, dann hätte ich das auch so raus. Nur die Integrationskonstante C ist natürlich - wie schon aus der Schule bekannt - beim bestimmten Integral überflüssig.
12.05.2019, 17:54	Calli	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!

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