Integralbestimmung Untersumme

12.05.2019, 12:42	Letti	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralbestimmung Untersumme Meine Frage: Hallo Leute, Ich habe folgende Aufgabe als Hausaufgabe auf und weiß leider nicht, wie ich anfangen soll. Bestimmen Sie das folgende Integral durch Berechnung des Grenzwerte der Folge von Untersummen. $\begin{eqnarray} \int_{0}^{5} \! (x^2 +3) \, \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wir haben bereits die Obersumme und Untersummen von unterschiedlichen Anzahlen an Rechtecke bestimmt, jedoch nur für $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ , weil unsere Lehrerin meinte, das für andere Funktionen andere Berechnungen gelten. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte! LaTeX-Tags eingefügt. Steffen
13.05.2019, 23:48	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwende zuerst die allgemeine Definition der Untersumme (untere Grenze $\begin{eqnarray} =0 \end{eqnarray}$ , obere Grenze $\begin{eqnarray} = x_0 = 5 \end{eqnarray}$ und n ist die Anzahl der Intervalle (Rechtecke)). $\begin{eqnarray} s_u(n) = \Delta x (f(0) + f(\Delta x) + f(2 \Delta x) + ... + f((n-1) \Delta x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \cdot \Delta x = 5 \end{eqnarray}$ und nun mit der gegebenen Funktion $\begin{eqnarray} s_u(n) = \Delta x ((\Delta x) ^2 + 3 + (2 \Delta x)^2 + 3 + ... + ((n-1) \Delta x)^2 + 3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_u(n)= \Delta x \cdot (\Delta x)^2 \cdot (1 + 2^2 + 3^2 + ... (n-1)^2)+\Delta x \cdot (3 + 3 + ... +3) \end{eqnarray}$ Nun setzen wir (von oben) für $\begin{eqnarray} \Delta x = \frac 5 n \end{eqnarray}$ und für die Summe der Quadratzahlen $\begin{eqnarray} \frac{n(n+1)(2n+1)} 6 \end{eqnarray}$ , diese Formel muss dir schon bei $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 \end{eqnarray}$ begegnet sein! $\begin{eqnarray} s_u(n) = \frac{125}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)} 6 + 15; \quad [\Delta x \cdot 3n = \frac 5 n \cdot 3n = 15] \end{eqnarray}$ Letztendlich berechne den Grenzwert für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ mY+
14.05.2019, 15:06	Letti	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort!! Das hat mir sehr weiter geholfen

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