Vektorraum, Norm, Metrik

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finley0104 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum, Norm, Metrik
Meine Frage:
Sei B[0,1] := {beschränkte reellwertige Funktionen auf [0,1]}. Zeigen Sie:
a) B[0,1] ist bezüglich der natürlichen Operationen (f + g)(x) := f(x) + g(x), (?f)(x) := ?f(x)ein reeller Vektorraum.
b) Durch ||f||_{infiniy}:= sup x?[0,1]|f(x)| wird eine Norm auf B[0,1] de?niert. Sie heißt die Supremumsnorm.
Ich benötige bei dieser Aufgabe eure Hilfe. irgendwie habe ich keine Ahnung was ich hier machen soll bzw. muss. ich muss allerdings auch ehrlich zugeben und gestehen muss, dass ich das ganze Thema nicht verstanden habe. Vielleicht könnt ihr mir helfen, danke im voraus...


Meine Ideen:
ich verstehe es nicht
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, Norm, Metrik
Bei Aufgabe a mußt du zunächst wissen, welche Eigenschaften einen Vektorraum kennzeichnen. Diese Eigenschaften mußt du dann für die Menge B[0,1] nachweisen. Das sieht im ersten Moment schlimmer aus, als es ist. Einfach mal anfangen.

EDIT: das Thema gehört meines Erachtens mehr in die Algebra als in die Analysis. Ich lasse es jetzt erst mal hier. Frage: aus welcher Vorlesung stammt die Aufgabe?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a) Du musst wissen, was ein Vektorraum ist (Definition lineare Algebra). Du musst wissen, dass , die Menge der reellwertigen Funktionen auf dem Intervall mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation, ein reeller Vektorraum ist.
Dann kannst du das Untervektorraumkriterium anwenden, um zu beweisen, dass die Teilmenge der beschränkten reellwertigen Funktionen auf dem Intervall mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation ein reeller Vektorraum ist.
b) Du musst wissen, was eine Norm auf einem Vektorraum ist (Definition lineare Algebra). Du musst wissen, was das Supremum einer reellen Teilmenge ist (Definition Analysis).
Dann kannst du beweisen, dass die Supremumsnorm eine Norm ist.

Nachtrag: entschuldigung, ich konnte nicht wissen, dass schon eine Antwort unterwegs war.
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