Dreiecksverteilung Entropie

26.05.2019, 11:09	Anon_The_Third	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreiecksverteilung Entropie Hi, für $\begin{eqnarray} a \leq b \leq c \end{eqnarray}$ ist die Dichte der Dreiecksverteilung gegeben durch $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} \text{ für } x \in [a,c] \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} \text{ für } x \in [c,b] \\ 0 \text{ sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ Es wird behauptet, dass die Entropie $\begin{eqnarray} H = - \int_\mathbb{R} f(x) ln(f(x)) dx = \frac{1}{2} + ln\left(\frac{b-a}{2}\right) \end{eqnarray}$ ist. Ich bin dabei, das nachzurechnen aber komm einfach nicht darauf: Sehen wir uns das Integral im ersten Fall an: dann ist der Teil der Entropie gleich $\begin{eqnarray} \int_a^c K (x-a) ln(K (x-a)) dx \end{eqnarray}$ (um die Konstante nicht immer schreiben zu müssen) $\begin{eqnarray} <br /> = K \; ln(K) \int_0^{c-a} x \; dx + K \int_0^{c-a} x \; ln(x) dx <br /> =K \; ln(K) \; \frac{1}{2} (c-a)^2 + K \frac{1}{4} (c-a)^2 ( 2 ln(c-a) - 1)<br /> \end{eqnarray}$ das 2. Integral schaut nach Wolfram Alpha so aus. Für unsere Konstante $\begin{eqnarray} K = \frac{2}{(b-a)(c-a)} \end{eqnarray}$ können wir jetzt kürzen und dann herausgehoben erhalten wir insgesamt: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{c-a}{b-a} \left( ln\left(\frac{2}{(b-a)(c-a)}\right) + ln(c-a) - \frac{1}{2} \right)<br /> = \frac{c-a}{b-a} \left( ln\left( \frac{2}{b-a} \right) - \frac{1}{2} \right)<br /> \end{eqnarray}$ wenn ich das gleiche für den zweiten Fall mache erhalte ich analog $\begin{eqnarray} - \frac{b-c}{b-a} \left(ln\left( \frac{2}{b-a} \right) - \frac{1}{2} \right) \end{eqnarray}$ Für die Summe der beiden Ausdrücke würde sich dann aber insgesamt ergeben: $\begin{eqnarray} <br /> \left(ln\left(\frac{2}{b-a}\right) - \frac{1}{2}\right) \left( \frac{2c}{b-a} - 1 \right)<br /> = \left( \frac{1}{2} + ln\left(\frac{b-a}{2} \right) \right) \left(1+ \frac{2c}{b-a} \right)<br /> \end{eqnarray}$ was (i.A.) nicht der eigentlichen Entropie entspricht. Ich seh nicht, wo ich mich verrechnet habe, vielleicht sieht hier wer meinen Fehler?
26.05.2019, 11:12	Anon_The_Third	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit Natürlich muss $\begin{eqnarray} a \leq c \leq b \end{eqnarray}$ sein, damit die Verteilung so Sinn ergibt.
26.05.2019, 12:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht so aus, als hast du einen Vorzeichenfehler beim zweiten Ausdruck, damit ergibt sich $\begin{eqnarray} \frac{c-a}{b-a} \left( \ln\left( \frac{2}{b-a} \right) - \frac{1}{2} \right) + \frac{b-c}{b-a} \left(\ln\left( \frac{2}{b-a} \right) - \frac{1}{2} \right) = \ln\left(\frac{2}{b-a}\right) - \frac{1}{2} = -\ln\left(\frac{b-a}{2}\right) - \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ d.h. genau das erwartete Ergebnis.

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