Dimension Untervektorräume

26.05.2019, 17:06	Mathefreak_neu	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension Untervektorräume Hallo zusammen, ich sitze gerade an einer Aufgabe und habe leichte Schwierigkeiten diese zu lösen. Für eure Hilfe bin ich euch dankbar. Die Aufgabe ist wie folgt: Es Sei $\begin{eqnarray} \mathbb{V} \end{eqnarray}$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum und $\begin{eqnarray} U\subset V \end{eqnarray}$ ein Untervektorraum. Unter welchen Dimensionsbedingungen gibt es UNtervektorräume $\begin{eqnarray} U_{1},U_{2}\subset V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} U\subsetneq U_{i} \subsetneq V,i=1,2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U=U_{1}\cap U_{2} \end{eqnarray}$ ? Meine Idee / Ansatz: Wenn $\begin{eqnarray} U_{1}=U_{2} \Rghtarrow U_{1}=U_{2}=U \end{eqnarray}$ . Diese Folgerung widerspricht der Voraussetzung. Korrekt? Also muss gelten $\begin{eqnarray} U_{1}\subsetneq U_{2} \end{eqnarray}$ und nun gehe ich da mit dem Basisergänzungssatz heran. Setze $\begin{eqnarray} V=U_{1}+U_{2} \end{eqnarray}$ Dann kann man für $\begin{eqnarray} U=U_{1}\cap U_{2} \end{eqnarray}$ eine Basis $\begin{eqnarray} a_1,...,a_r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} dim(U_{1} \cap U_{2})=r \end{eqnarray}$ angeben und diese Dann sukzessive um mindestens 1- s Basisvektoren erweitern und auf die Dimension von $\begin{eqnarray} U_{1} \Rightarrow dim(U_{1})=r+s \end{eqnarray}$ Liege ich hiermit richtig oder total falsch? Danke für eure Mühe. Mathefreak
26.05.2019, 18:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht immer, wenn $\begin{eqnarray} dim(V)\ge dim(U)+2 \end{eqnarray}$ . Dass die Bedingung notwendig ist, kannst du dir leicht überlegen. Dass die Bedingung hinreichend ist, kannst du durch Konstruktion von $\begin{eqnarray} U_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ zeigen.
26.05.2019, 18:32	Mathefreak_neu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, mein Verständnis auf diesem Teilgebiet ist nicht so umfangreich wie deins. Ich habe noch nicht verstanden, ob mein Ansatz jetzt richtig ist, oder ob ich total falsch liege. Ist zu zeigen wie die $\begin{eqnarray} U_{i} \end{eqnarray}$ gewählt werden müssen? Soll ich hier die Dimensionsformel noch einmal anwenden? Kannst du mir kurz an einem Beispiel die Begrifflichkeiten "notwendig" und "hinreichend" erklären.
26.05.2019, 19:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} U_1\subset U_2 \end{eqnarray}$ muss nicht gelten. Basisergänzung ist ein schweres Geschütz. Denke dir zwei Ebenen im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ , die sich in einer Gerade $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ schneiden. Dann hast du ein Musterbeispiel. Das Beispiel kannst du auf beliebige Dimensionen verallgemeinern. Hinreichend: Von der Geraden aus kannst du zwei verschiedene Ebenen herstellen, die sich in der Geraden schneiden, und im Raum ist Platz genug. Notwendig: In der Ebene geht das nicht.
30.05.2019, 09:34	mathefreak_neu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension Untervektorräume herzlichen Dank Elvis. Jetzt habe ich es verstanden.

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