Injektivität

30.05.2019, 11:57	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität Hi Leute, wie kann ich zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray} f:\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:1\leq xy\leq 3,1\leq x^2-y^2\leq 4\}\rightarrow \mathbb{R}^2: (x,y) \mapsto (xy,x^2-y^2) \end{eqnarray}$ injektiv ist? Habe versucht die Definition von Injektivität nachzuweisen aber der Definitionsbereich erschwert das deutlich. Hat jemand eine Idee? Danke und LG
30.05.2019, 12:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität Bedeutend leichter als Injektivität nachzuweisen ist es diese zu widerlegen.
30.05.2019, 12:41	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität die Aufgabe in der diese Funktion vorkommt ist aber nur lösbar, wenn f injektiv ist -> da ich davon ausgehe, dass die Aufgabe "lösbar" ist, muss f injektiv sein. LG
30.05.2019, 12:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität Ändert allerdings nichts daran, dass $\begin{eqnarray} f(2,1) = f(-2,-1) = (2, 3) \end{eqnarray}$ ist.
30.05.2019, 12:49	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität stimmt! jetzt muss ich noch einen Nachtrag zur Definitionsmenge liefern: x>=0 und y>=0 soll ebenso gelten. Wie kann ich das dann prüfen? LG
30.05.2019, 16:48	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität Hallo, Du kannst die Gleichung $\begin{eqnarray} f(x,y)=(p,q) \end{eqnarray}$ auflösen. Gruß pwm
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30.05.2019, 18:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität @PWM Damit zeigt man a priori nur, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ surjektiv auf sein Bild abbildet. Was man untersuchen sollte, ist $\begin{eqnarray} f(x,y) = f(p,q) \end{eqnarray}$ um $\begin{eqnarray} (x,y) = (p,q) \end{eqnarray}$ zu folgern.
31.05.2019, 10:57	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität genau da scheitere ich...
31.05.2019, 11:06	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität Hallo, @IfindU: Wenn man es tut, also nach (x,y) auflöst, dann wird man feststellen, ob es höchstens eine Lösung gibt. Dann steht die Injektivität fest. Zur Durchführung: Man kann die Gleichung der ersten Komponente nach x auflösen und in dies in dei zweite Komponente einsetzen. Das liefert eine biquadratische Gleichung .... Gruß pwm

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