Injektivität semilinearer Abbildungen

Neue Frage »

Südatlantik Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität semilinearer Abbildungen
Meine Frage:
Grüße,

Ich bin gerade am Lösen meiner Aufgaben und dabei auf einen Punkt gestoßen, zu dem ich nicht weiter weiß. Und zwar geht es darum die Äquivalenz zwischen Injektivität einer semilinearen Abbildung und dem Umstand, dass deren Kern trivial ist, zu zeigen. Also:





Zur Definition:

Es seien Vektorräume über demselben Körper und ein Automorphismus von . Eine Abbildung heißt semilinear bzgl. , wenn für alle und alle gilt:





Meine Ideen:
Nun, ich gehe mal davon aus, dass sich der Beweis nicht wesentlich von jenem für lineare Abbildung unterscheidet. Das heißt zuerst beweise ich:



Beweis:


Soweit so gut, nun die Richtung



Und hier hänge ich. Und zwar behaupte ich:



Woraus ich nicht viel folgern kann.
Hat jemand einen Ansatz oder eine Idee?

Grüße,
Südatlantik
Südatlantil Auf diesen Beitrag antworten »

KORREKTUR:

Ups, natürlich muss in der letzten Zeile




(Beachte das Unterschiedliche Vorzeichen in der Gleichung )

Südatlantik
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar musst du zeigen, dass jeder Körperautomorphismus die Gleichung erfüll. Dafür kannst du zeigen, dass jeder Körperhomomorphismus und erfüllt. Dann fehlt nur noch, dass zusätzlich ein Körperautomorphismus erfüllt.
Südatlantik Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, ja verstehe, wenn ich also mit meinen Körperautomorphismus bezeichne, dann ist für ein beliebiges




und darüber hinaus:



und schließlich



Macht durchaus Sinn, ich danke dir für deine Hilfe.

Grüße,
Südatlantik
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

f(1) = 1 ist für gewöhnlich in der Definition von Körperhomomorphismen enthalten, ansonsten könnte nämlich auch f(1) = 0 sein, dies erhält aber nicht die Körperstruktur und wird daher nicht als Körperhomomotphismus betrachtet.

Es kann natürlich sein, dass ihr das nicht so definiert habt, dann musst du dir aber noch ein Argument überlegen, warum bei Automorphismen f(1) = 0 nicht möglich ist. Dein Argument geht hier nicht ohne weiteres Argument, weil f(a) nicht inbertierbar sein muss.
Südatlantik Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben (Gruppen-)Homomorphismen definiert als Abbildungen für die gilt



wobei Gruppen sind und die Multiplikation als die der Gruppe entsprechende Verknüpfnung zu interpretieren ist.

Darüber hinaus haben wir einen Isomorphismus als bijektiven Homomorphismus definiert und einen Automorphismus als Isomoprhismus für den gilt, dass .

Die Bijektivität darf ich also voraussetzen, damit ist f invertiertbar, die Argumentation sollte also ok sein, danke jedenfalls für deine/eure Mühen.

Südatlantik
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ob f invertierbar ist oder f(a) sind zwei völlig verschiedene Sachen verwirrt
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »