Fundamentalsystem einer Differentialgleichung

11.06.2019, 16:35	TUProfi	Auf diesen Beitrag antworten »
Fundamentalsystem einer Differentialgleichung Meine Frage: Bräuchte Hilfe bei dem lösen eines fundamentalsystems, beziehungsweise weiß ich nicht wie ich anfangen soll? y1'(x)=y1-y2 y1'(x)=(9y1+y2) y1(0)=2 y2(0)=3 Meine Ideen: Meine Idee: eine Matrix aufstellen. Eigenwerte berechnen, waren bei mir komplexe Zahlen(mit den eigenwerten Lambda1= 1+3i und Lambda1=1-3i) Dadurch bekomme ich die eigenvektoren (v1=(1,-3i) und V2=(1,3i)) und das Fundamentalsystem (y(x)=(e^((1+3i)x))v1)+(e^((1-3i)x))v2) Weiter weiß ich nicht was ich lösen soll? Danke im vorhinein
11.06.2019, 23:02	Scotty1701D	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: Fundamentalsystem einer Differentialgleichung In der zweiten Gleichung soll es wohl y2 heißen. Beim Bestimmen des Fundamentalsystems hast du die Integrationskonstanten vergessen: $\begin{eqnarray} y(x)=C_1 e^{(1+3i)x}\cdot v_1+ C_2 e^{(1-3i)x}\cdot v_2 \end{eqnarray}$ Löst du jetzt auf und benutzt die Randbedingungen, dann hast du die Lösungen für $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ . LG Andreas P.S.: entweder schreibt man $\begin{eqnarray} y_1'=y_1-y_2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} y_1'(x)=y_1(x)-y_2(x) \end{eqnarray}$
12.06.2019, 09:53	TUProfi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fundamentalsystem einer Differentialgleichung Die Konstanten habe ich ssogar gestern noch bestimmt, war mir nur nicht sicher, ob das die vollständige Lösung ist. Aber Konstanten aufgestellt und soweit hat alles funktioniert. Danke für deine Hilfe Andreas. LG Sam
12.06.2019, 09:54	TUProfi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fundamentalsystem einer Differentialgleichung Und natürlich Rechtschreibfehler auch noch. Werd mir auf jeden Fall deine Tipps zu Herzen nehmen. Danke.
12.06.2019, 12:39	TUProfi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fundamentalsystem einer Differentialgleichung Hätte noch eine Frage, ist es damit möglich ein reeles Fundamentalsystem aufzustellen? Ich wüsste halt nicht wie weil, Lambda1 und lambda2 komplex sind.
12.06.2019, 21:38	Scotty1701D	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fundamentalsystem einer Differentialgleichung Ich habe das jetzt nicht durchgerechnet, aber man kann ja vielleicht benutzen, dass $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^{(1\pm 3i)x} = \operatorname{e}^x\cdot(\cos(3x)\pm i\sin(3x)) \end{eqnarray}$ und dann Bedingungen für die Konstanten finden, damit der Imiginärteil Null wird. LG Andreas
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12.06.2019, 22:03	Scotty1701D	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fundamentalsystem einer Differentialgleichung Ich habe doch noch eine reele Lösung gefunden: $\begin{eqnarray} y_1(x)=C_1\operatorname{e}^x\cdot\cos(3x)+C_2\operatorname{e}^x\cdot\sin(3x)<br /> y_2(x)=3C_1\operatorname{e}^x\cdot\sin(3x)-3C_2\operatorname{e}^x\cdot\cos(3x)<br /> \end{eqnarray}$ LG Andreas
13.06.2019, 14:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man sich die Eigenvektorbestimmung/Diagonalisierung im Komplexen "sparen" will, kann man alternativ auch so vorgehen: Nach Eigenwertermittlung $\begin{eqnarray} (1\pm 3i) \end{eqnarray}$ ist klar, dass die homogene DGL-Lösung von der Struktur $\begin{eqnarray} y(x) = \begin{pmatrix} A\cos(3x)+B\sin(3x)\\ C\cos(3x)+D\sin(3x)\end{pmatrix} e^x\qquad () \end{eqnarray}$ ist. Die vier Konstanten A,B,C,D bekommt man dann so: Aus den Anfangswerten lässt sich unmittelbar $\begin{eqnarray} A=2,C=3 \end{eqnarray}$ folgern, während $\begin{eqnarray} B,D \end{eqnarray}$ durch Einsetzen von () in die DGL durch Koeffizientenvergleich folgen.

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