Stetigkeit an irrationalen Stellen

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KoenigVonAugsburg Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit an irrationalen Stellen
Hallo smile

ich habe Probleme folgende Aufgabe zu lösen, bzw überhaupt einen sinnvollen Ansatz zu finden:

Sei definiert durch


f ist genau an den irrtionalen Stellen stetig, sonst unstetig.

Wie könnte man dieses Problem lösen, jemand Ideen?

Mfg
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Fangen wir mit dem einfacheren Teil an, der Unstetigkeit an den Stellen : Für dieses ist also , sofern mit teilerfremden gilt, wobei ist (diese Poitivitäts-Bedingung für hattest du oben "vergessen" anzugeben!). Nun liegen die irrationalen Zahlen dicht in , d.h., in jeder noch so kleinen -Umgebung von finden sich irrationale Zahlen , für die dann offenbar gilt. Wieso widerspricht das der -Definition der Stetigkeit an dieser Stelle ?

Im zweiten Teil betrachten wir irrationale , also solche mit . Wir suchen nun zu beweisen, dass wir für alle ein finden mit für alle mit . Das bedeutet, es dürfen in dieser -Umgebung nur noch rationale Zahlen auftauchen mit . Ist es immer machbar, so klein zu wählen, dass das erfüllt ist? Ja, ist es, aber das ist natürlich zu begründen...
KoenigVonAugsburg Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, hat mir geholfen.
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