Drehwinkel einer Drehmatrix im R^3 berechnen

25.06.2019, 16:04

MasterWizz

Drehwinkel einer Drehmatrix im R^3 berechnen

Hey Leute

Für den Drehwinkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ einer Drehmatrix $\begin{eqnarray*} D\in\mathbb{R}^{3\times3} \end{eqnarray*}$ gilt ja $\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=\frac{1}{2}(\text{spur}(D)-1) \end{eqnarray*}$ . Jetzt gibts doch aber für den Winkel zwei Möglichkeiten, $\begin{eqnarray*} \phi=\pm\arccos(\dots) \end{eqnarray*}$ . Wie kann ich entscheiden, welcher der beiden Winkel zu meiner Drehmatrix gehört?

Liebe Grüße und schon jetzt einmal wieder vielen Dank für eure Zeit!

26.06.2019, 09:42

Ehos

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In der Tat kann man bei einer konstanten Drehmatrix den Drehwinkel nicht eindeutig angeben. Zum Beispiel lautet die Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=\tfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ sowohl $\begin{eqnarray*} \phi=30° \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} \phi=330° \end{eqnarray*}$ . In der Praxis hat man aber oft zeitabhängige Drehmatrizen, deren Drehwinkel sich stetig ändert. Ausgehend vom Drehwinkel 0° zur Zeit t=0 kann man dann aus der "Vorgeschichte" der Drehung festlegen, welche Lösung praktisch Sinn macht.

26.06.2019, 11:08

MasterWizz

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Über so einen Praxis Bezug hab ich noch gar nicht nachgedacht, klingt mega interessant. Danke für deine Antwort.
Also gibts wohl keine hinreichende Bedingung für die eindeutige Bestimmung des Winkels über den Kosinus?

26.06.2019, 11:22

Huggy

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Zitat:

Original von Ehos
In der Tat kann man bei einer konstanten Drehmatrix den Drehwinkel nicht eindeutig angeben

Das ist nicht richtig. Es reicht nur nicht aus, den Kosinus

$\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=\frac{1}{2}(\text{spur}(D)-1) \end{eqnarray*}$

des Drehwinkels zu bestimmen, Man muss auch noch $\begin{eqnarray*} \sin (\phi) \end{eqnarray*}$ mittels der Drehmarix bestimmen.

26.06.2019, 11:24

MasterWizz

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Also sind immer beide erforderlich für eine eindeutige Bestimmung des Winkels?
Edit: Außer bei $\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=\pm1 \end{eqnarray*}$ *MatheWitz xD

26.06.2019, 11:26

Huggy

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Ja und beide lassen sich aus der Drehmatrix bestimmen.

26.06.2019, 11:27

Ehos

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Nein, bei einer konstanten Drehmatrix kann man den Drehwickel ohne weitere Forderungen nicht eindeutig festlegen. Auch der Richtungssinn der Drehachse, welche bekanntlich der Eigenvektor der Drehmatrix zum Eigenwert 1 ist, ist zweideutig.

Wenn z.B. eine Uhr auf zwei Fotos die Zeiten 12:00 und 12:05 anzeigt, könnte sich der große Zeiger entweder um 30° nach rechts oder um 330° nach links gedreht haben. Wenn man "von hinten" auf das (durchsichtige) Ziffernblatt schaut, wäre es genau umgekehrt. Zur Eindeutigkeit bedarf also es also einer zusätzlichen Definition der Drehrichtung bzw. der Orientierung der Drehachse. (Beides ist im Prinzip das Gleiche.)

26.06.2019, 11:27

MasterWizz

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Super vielen Dank!!! Den Rest pack ich allein smile

Edit: Danke euch beiden. Eine Anmerkung von mir zur Orientierung: Die Orientierung kann ja eindeutig durch ein Rechtssystem festgelegt werden.

26.06.2019, 11:35

Huggy

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Zitat:

Original von Ehos
Nein, bei einer konstanten Drehmatrix kann man den Drehwickel ohne weitere Forderungen nicht eindeutig festlegen. Auch der Richtungssinn der Drehachse, welche bekanntlich der Eigenvektor der Drehmatrix zum Eigenwert 1 ist, ist zweideutig.

Nein.
Bei der üblichen Definition der Orientierung von Koordinatensystem und der zugehörigen Drehmatrizen ist das eindeutig.

26.06.2019, 12:24

HAL 9000

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Aus $\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=\frac{1}{2}(\text{spur}(D)-1)=:c \end{eqnarray*}$ kann man sowohl $\begin{eqnarray*} \phi=\arccos(c) \end{eqnarray*}$ mit einer zugehörigen Drehachsenrichtung $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ folgern, als auch $\begin{eqnarray*} \phi=-\arccos(c) \end{eqnarray*}$ mit der dann entgegengesetzten Drehachsenrichtung $\begin{eqnarray*} -\vec{n} \end{eqnarray*}$ . Ist also im wahrsten Sinne des Worts "Ansichtssache". Augenzwinkern

26.06.2019, 12:40

Huggy

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@HAL
Mir ist nicht ganz klar, was du damit sagen willst.

Nehmen wir als Beispiel die Drehung um eine der Koordinatenachsen Dann stehen in der Drehmatrix $\begin{eqnarray*} \cos (\phi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin (\phi) \end{eqnarray*}$ explizit drin und dadurch ist der Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ bis auf Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt. Das war die Frage von Masterwizz.

Nun könnte man deinen Beitrag so verstehen oder missverstehen, dass du das bezweifelst. Das kann ich mir aber nicht vorstellen.

26.06.2019, 12:59

MasterWizz

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Ich sehs auch wie Huggy. Der Drehwinkel $\begin{eqnarray*} \phi\in[0,2\pi) \end{eqnarray*}$ bei einer gegebenen Drehmatrix ist eindeutig. Die Frage ist eben nur noch, wie man die Information des Sinus mit einfließen lassen kann oder alternativ wie man direkt aus der Berechnung der Drehachse (=EV zum Eigenwert 1) den "richtigen" der beiden Winkel zuordnen kann, die man aus dem Kosinus berechnet hat.

26.06.2019, 13:19

HAL 9000

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Ich lese da nur was von "Drehwinkel", nicht von "Drehwinkel um Koordinatenachsen". Bei einer allgemeinen Drehmatrix gibt es das ja i.a. auch gar nicht, dass man mit der Drehung um nur eine Koordinatenachse auskommt!

Wenn die Drehachse eine der Koordinatenachsen ist - Ok, da mag es eine "Vorzugsrichtung" geben (i.d.R. die positive). Bei einer allgemeinen Drehachse vermag ich aber keine Vorzugsrichtung zu erkennen, da kann man die gerichtete Drehachse $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ oder aber $\begin{eqnarray*} -\vec{n} \end{eqnarray*}$ wählen, und zugehörig dann Winkel verschiedener Vorzeichen.

Zitat:

Original von MasterWizz
Ich sehs auch wie Huggy. Der Drehwinkel $\begin{eqnarray*} \phi\in[0,2\pi) \end{eqnarray*}$ bei einer gegebenen Drehmatrix ist eindeutig.

Na wenn das so ist, dann habe ich eben per Mehrheitsentscheid 2:1 Unrecht. Aber halt, es ist vielleicht doch ein 2:2 wegen

Zitat:

Original von Ehos
Auch der Richtungssinn der Drehachse, welche bekanntlich der Eigenvektor der Drehmatrix zum Eigenwert 1 ist, ist zweideutig.

Zitat:

Original von MasterWizz
Eine Anmerkung von mir zur Orientierung: Die Orientierung kann ja eindeutig durch ein Rechtssystem festgelegt werden.

Inwiefern legt eine Rechtssystem eindeutig fest, welche Richtung man einer beliebigen Ursprungsgerade im Raum man "verpassen" soll???

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Und wenn euch die Anschauung nicht überzeugt, dann vielleicht Formeln: Die allgemeine Drehmatrix um die gerichtete normierte Drechachse $\begin{eqnarray*} \vec{n}=(n_1,n_2,n_3) \end{eqnarray*}$ sowie Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ lautet (siehe Wiki)

$\begin{eqnarray*} R_{\vec{n}}(\phi) = \begin{pmatrix} n_1^2(1-\cos(\phi))+cos(\phi) & n_1n_2(1-\cos(\phi))-n_3\sin(\phi) & n_1n_3(1-\cos(\phi))+n_2\sin(\phi)\\ n_2n_1(1-\cos(\phi))+n_3\sin(\phi) & n_2^2(1-\cos(\phi))+cos(\phi) & n_2n_3(1-\cos(\phi))-n_1\sin(\phi)\\ n_3n_1(1-\cos(\phi))-n_2\sin(\phi) & n_3n_2(1-\cos(\phi))+n_1\sin(\phi) & n_2^2(1-\cos(\phi))+cos(\phi)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn aber NUR die Drehmatrix vorgegeben ist, und KEIN explizites $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ , dann gibt es wegen $\begin{eqnarray*} R_{\vec{n}}(\phi) = R_{-\vec{n}}(-\phi) \end{eqnarray*}$ (die Ungläubigen bzw. die ohne Anschauung mögen das bitte nachrechnen!) dann eben doch BEIDE Vorzeichen-Möglichkeiten für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , natürlich mit entgegen gesetzten Richtungen der gleichen Drehachse.

26.06.2019, 14:04

Huggy

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Ja, okay, ich verstehe.
Ich habe mir vorgestellt, dass der Anwender eine Wahl der Vorzugsrichtung der Drehachse trifft. Bezüglich dieser Wahl ist der Drehwinkel dann eindeutig bestimmt. So macht es ein Anwender.

Diese Wahl ist aber nicht in der Drehmatrix codiert. Da stimme ich Ehos und HAL zu.

26.06.2019, 21:39

MasterWizz

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Ja ich verstehe auch was ihr meint. Erst mit dem Festlegen einer Richtung für die Drehachse ist der Drehwinkel eindeutig bestimmt. Das meinte ich übrigens auch mit Rechtssystem. Die Drehachse $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ mit einem frei ausgedachten orthogonalen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ und deren Kreuzprodukt $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ bilden entweder ein Rechts- oder ein Linkssystem. Wenn man die Richtung von $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ändert, geht man von einem Rechts- in ein Linkssystem oder umgedreht über. Damit wechselt auch das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} \phi=\pm\arccos(\dots) \end{eqnarray*}$ , was mit HAL's und Ehos Aussage einhergeht.

Eine weitere Bestätigung liefert mir ein Tafelwerk, dass ich im Schrank gefunden habe: Für obige normierte Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ und die Drehmatrix $\begin{eqnarray*} D\in\mathbb{R}^{3\times3} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \text{det}(\vec{n},\vec{v},D\vec{v})=\sin(\phi) \end{eqnarray*}$ , wobei ein positives Ergebnis $\begin{eqnarray*} \phi=+\arccos(\dots) \end{eqnarray*}$ und ein negatives Ergebnis $\begin{eqnarray*} \phi=-\arccos(\dots) \end{eqnarray*}$ liefert. Das Ändern der Richtung von $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ändert auch das Vorzeichen des Sinus und damit des Winkels.

Hat mir übrigens sehr geholfen und Spaß gemacht, mit euch allen zu diskutieren, vielen Dank!

26.06.2019, 23:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von MasterWizz
Die Drehachse $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ mit einem frei ausgedachten orthogonalen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ und deren Kreuzprodukt $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ bilden entweder ein Rechts- oder ein Linkssystem.

Von all dem kann keine Rede sein, solange nur erst die Drehmatrix vorliegt. Ich finde ehrlich gesagt das Einbringen von Links-/Rechtssystem hier nur überflüssig und ablenkend: Es geht um die durch die Drehmatrix eindeutig bestimmte Drehachse und deren Richtung (da hat man zwei Möglichkeiten der Wahl), und dann um den Drehwinkel, Punkt. Hier irgendwelches anderes Zeugs reinzubringen, und damit Verwirrung in der Kausalität stiften, halte ich für wenig zielführend.

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