Ableitung -phi'*sin(phi)

04.07.2019, 16:48

DasHansi

Ableitung -phi'*sin(phi)

Meine Frage:
Hallo zusammen,

wahrscheinlich eine dumme Frage aber ich weiß mir grad nicht zu helfen:

Ableitung von -phi'*sin(phi)

Meine Ideen:
->Produktregel mit
U=phi'
U'=phi''
V=sin(phi)
V'=cos(phi)

==> -phi''*sin(phi) -phi'*cos(phi)
Laut meinem Buch und wolfram alpha muss aber phi'² rauskommen...

Danke im voraus Augenzwinkern

04.07.2019, 19:15

mYthos

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Deine Ableitung habe ich auch.
--------
Es kann aber sein, dass du die Angabe aus dem Zusammenhang mit einer anderen Problemstellung genommen hast.

Bitte stelle die Aufgabe nochmals vollständig und im Originaltext!

mY+

04.07.2019, 19:37

DasHansi

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Das ist die Ableitung der Geschwindigkeit für ein Mehrkörpersystem.

Ich dachte auch erst an ein konzeptionellen Denkfehler, aber Wolframalpha gibt mir wie gesagt auch ohne jeden Zusammenhang eine Lösung mit Quadrat und wendet neben der Produktregel auch die Kettenregel an. Ich habe nur keine Ahnung wieso. Den vollständigen Rechenweg kann da leider nur mit Premiumaccount einsehen.

Grüße

04.07.2019, 21:14

Leopold

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Wenn du $\begin{align*} - \dot{\varphi} \cdot \sin \varphi \end{align*}$ schreibst, dann verstehe ich das so, daß $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ von einer Variablen $\begin{align*} t \end{align*}$ abhängig ist und nach dieser differenziert wird. Dann ergibt sich doch völlig zurecht gemäß Produkt- und Kettenregel

$\begin{align*} \frac{\dd}{\dd t} \left( - \dot{\varphi} \cdot \sin \varphi \right) = - \ddot{\varphi} \cdot \sin \varphi - \dot{\varphi}^{\, 2} \cos \varphi \end{align*}$

Ich kann da keinen Fehler entdecken.

04.07.2019, 21:16

mYthos

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Die vorliegende Funktion ist eine Weg-Funktion, welche von t abhängt, darin befindet sich auch noch eine Parameterdarstellung von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ebenfalls von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängt.
$\begin{eqnarray*} \dot \varphi \end{eqnarray*}$ bedeutet die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$

In der Geschwindigkeitsdarstellung ist der Faktor vor $\begin{eqnarray*} \dot \varphi \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} J_{T_1} \end{eqnarray*}$ bezeichnet und besteht in den Variablen $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .

Für die Beschleunigung ist nochmals die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ zu bilden. In deinem ursprünglichen Beitrag hat es so ausgesehen, als wäre die Ableitung lediglich nach $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zu berechnen und das wäre auch dein Fehler gewesen!

Somit ist auf die Geschwindigkeitsfunktion, die aus den Faktoren $\begin{eqnarray*} J_{T_1(\varphi)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dot \varphi \end{eqnarray*}$ besteht, die Produktregel anzuwenden:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd (J_{T_1(\varphi)} \dot \varphi)} {\dd t} = J_{T_1(\varphi)} \ddot {\varphi} + \frac{\dd}{\dd \varphi} J_{T_1(\varphi)} \dot {\varphi} \dot {\varphi} = J_{T_1(\varphi)} \ddot {\varphi} + \frac{\dd}{\dd \varphi} J_{T_1(\varphi)} \dot {\varphi}^2 \end{eqnarray*}$

Im zweiten Summand war die Kettenregel anzuwenden, deshalb, weil $\begin{eqnarray*} J_{T_1(\varphi)} \end{eqnarray*}$ eine zusammengesetzte Funktion ist, sie hängt zunächst von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und in der Folge dann von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ab.

mY+

04.07.2019, 21:47

DerHansi

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Zitat:

Original von mYthos
Im zweiten Summand war die Kettenregel anzuwenden, deshalb, weil $\begin{eqnarray*} J_{T_1(\varphi)} \end{eqnarray*}$ eine zusammengesetzte Funktion ist, sie hängt zunächst von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und in der Folge dann von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ab.

mY+

Ich bin wirklich eingerostet. Danke, das ist der springende Punkt.

Dankeschön!

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