Darstellende Matrix einer symmetrischen Bilinearform

05.07.2019, 09:14

elenmal

Darstellende Matrix einer symmetrischen Bilinearform

Meine Frage:
Sie q:\mathbb R ^{3} ->\mathbb R die quadratische Form
q(x,y,z)=x^2-y^2+4xy+6xz-4yz

Nun soll ich die darstellende Matrix berechnen die von q bestimmten symmetrischen Bilinearform \mathbb R^{3} * \mathbb R ^{3} -> \mathbb R

Meine Ideen:
Ich hab keine Ahnung ich würd mich über einen Ansatz freuen

05.07.2019, 10:57

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Regel lautet:
Die Koeffizienten 1; -1; 0 vor den rein quadratischen Gliedern mit x²; y²; z²; kommen in die Hauptdagonale der Matrix. Die Koeffizienten 3; 6; -4 vor den gemischten Summanden xy; xz; yz werden halbiert und auf die übrigen Matrixelemente aufgeteilt.

$\begin{eqnarray*} x^2-y^2+3xy+6xz-4yz=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1,5 & 3 \\ 1,5 & -1 & -2 \\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Multipliziere die rechte Seite mal aus. Dann wird alles klar.

05.07.2019, 11:22

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu beachten wäre dabei, dass ehos eine etwas andere quadratische Form verwendet hat. Der Unterschied dürfte Dir aber schnell auffallen.

05.07.2019, 15:06

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z\\ a_{12}x + a_{22}y + a_{23}z\\ a_{13}x + a_{23}y + a_{33}z \end{pmatrix} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a_{11}x^2+a_{12}xy+a_{13}xz+a_{12}yx+a_{22}y^2+a_{23}yz+a_{13}zx+a_{23}zy+a_{33}z^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2 + 2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}xz. \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein unendlicher Körper, dann ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi\colon K[X]\to\operatorname{Abb}(K,K) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Phi(f)(x) := f(x) \end{eqnarray*}$ injektiv -- das ist die Abbildung, die einem Polynom ihre entsprechende Polynomfunktion zuordnet. Die entsprechende Aussage für $\begin{eqnarray*} K[X,Y,Z] \end{eqnarray*}$ ist hoffentlich auch richtig. Man hat damit
$\begin{eqnarray*} \Phi(f)=\Phi(g)\iff f=g. \end{eqnarray*}$
Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn ihr Koeffizientenvergleich übereinstimmt.

Man braucht jetzt für die beiden quadratischen Formen nur den Koeffizientenvergleich auszuführen.

05.07.2019, 15:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ehos
$\begin{eqnarray*} x^2-y^2+3xy+6xz-4yz=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1,5 & 3 \\ 1,5 & -1 & -2 \\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Formal könnte man herumkritteln, dass der vordere Vektor ein Zeilenvektor ist, d.h. genau genommen lautet die Zeile

$\begin{eqnarray*} x^2-y^2+3xy+6xz-4yz = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1,5 & 3 \\ 1,5 & -1 & -2 \\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1,5 & 3 \\ 1,5 & -1 & -2 \\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

05.07.2019, 21:54

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja, sorry, ein Flüchtigkeitsfehler von mir. Ehos setzte den subtilen Malpunkt aber wohl bewusst. Meint er mit $\begin{eqnarray*} v\cdot w \end{eqnarray*}$ das Standardskalarprodukt für $\begin{eqnarray*} v,w\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} v\cdot Aw \end{eqnarray*}$ korrekt. Für $\begin{eqnarray*} v,w\in\mathbb R^{3\times 1} \end{eqnarray*}$ muss man jedoch $\begin{eqnarray*} v^T Aw \end{eqnarray*}$ schreiben, sofern kein Malpunkt vorkommt.

05.07.2019, 22:03

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann für das Skalarprodukt natürlich auch $\begin{eqnarray*} \langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$ schreiben, was ich empfehlen würde. Dann verlieren die Malpunkte ihre subtile Bedeutung.

Neue Frage »

Antworten »

Darstellende Matrix einer symmetrischen Bilinearform

Verwandte Themen