Stetigkeit vom Integral einer mehrdimensionalen Funktion

05.07.2019, 16:45	--aA--	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit vom Integral einer mehrdimensionalen Funktion Sei $\begin{eqnarray} g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine stetige Funktion und $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und man soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} h(x) = \int\limits_a^b g(x,y)\ dy \end{eqnarray}$ stetig in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist. Als Tipp ist gegeben: man soll eine Menge betrachten auf der $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig ist und mit Hilfe geeigneter Cauchy-Summen (?) die Stetigkeit des Integrals zeigen. Eine Menge für die $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig ist findet man leicht (z.B. $\begin{eqnarray} U=[-t,t]\times[a,b] \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} t\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ ), aber ich weiß nicht wie mir das hilft, die Stetigkeit von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ zu zeigen. Denn es gilt $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0\ \forall x,\tilde{x} \in U\ \exists \delta > 0: \|x-\tilde{x}\| \implies \|g(x,y)-g(\tilde{x},y) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} y \in [a,b] \end{eqnarray}$ . Damit folgt: $\begin{eqnarray} \|\int\limits_a^b g(x,y)\ dy - \int\limits_a^b g(\tilde{x},y)\ dy\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \| \int\limits_a^b g(x,y) - g(\tilde{x},y)\ dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \le \int\limits_a^b \|g(x,y)-g(\tilde{x},y)\|\ dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \le \int\limits_a^b \epsilon\ dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \epsilon(b-a) \end{eqnarray}$ Damit hat man aber nur gezeigt, dass $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} M \subset \mathbb{R} \end{eqnarray}$ stetig ist, wenn $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} M \times [a,b] \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig ist.
06.07.2019, 09:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf kompakten Mengen fallen Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit zusammen.

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