Umkehrfunktion einer zweidimensionalen Funktion

08.07.2019, 14:50

littlecurie

Umkehrfunktion einer zweidimensionalen Funktion

Meine Frage:
Hallo,
Ich soll die Umkehrfunktion von einer zweidimensionalen Funktion bilden und dann überprüfen, ob diese stetig ist. Die Funktion sieht folgendermaßen aus:
(x,y) = f(r,z) = (r cos z, r sin z).

Meine Ideen:
Ich weiß, dass ich jetzt x = r cos z und y = r sin z setzten muss, aber irgendwie komme ich dann nicht weiter.

08.07.2019, 17:07

HAL 9000

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Es wäre anratsam, Definitions- und Wertemenge der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sinnvoll einzugrenzen:

Ohne derartige Angaben kann man ja leicht $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (r,z)\mapsto (r\cos(z),r\sin(z)) \end{eqnarray*}$ annehmen (die Terme sind da jedenfalls definiert), aber diese Funktion ist sicher nicht umkehrbar. unglücklich

08.07.2019, 17:20

little_curie

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Hi,
Ich wusste nicht, dass Definitions- und Wertemenge dabei wichtig ind, deswegen habe ich die nicht angegeben. Ist aber so definiert:
f: D -> R mit $\begin{eqnarray*} D = {(r,z) [latex] \in \mathbb R^2 : r \in [1,2], z \in [0, \pi /2] } \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} R = {(x,y) \in \mathbb R^2 : y \geq 0, x \geq , 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4} \end{eqnarray*}$
Warum genau würde denn keine Umkehrfunktion existieren, wenn Werte- und Definitionsmenge beide R^2 sind?

08.07.2019, 17:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von little_curie
Warum genau würde denn keine Umkehrfunktion existieren, wenn Werte- und Definitionsmenge beide R^2 sind?

Umkehrbarkeit setzt Injektivität voraus, und die ist aber wegen Periode $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ der beiden Winkelfunktionen hier bezüglich $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ sicher nicht erfüllt, wenn wir ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zulassen. unglücklich

08.07.2019, 17:58

little_curie

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Okay, verstehe. Danke.
Aber wenn ich die Funktion unter der Definitions- und Wertemenge betrachte, die ich zu der Funktion habe, ist f ja sogar bijektiv. Das heißt also es existiert eine Umkehrfunktion, oder nicht? Ich weiß nur nicht, wie ich diese ausrechnen kann.

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