Integrationsgrenzen Dreifachintegral

19.07.2019, 16:11	Jo3rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsgrenzen Dreifachintegral Meine Frage: Ich habe eine Aufgabe bekommen, in welcher ich dieses Integral: $\begin{eqnarray} \int \int \int x_1 x_2 x_3 dx_1 dx_2 dx_3 \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ berechnen soll, wobei $\begin{eqnarray} \Omega = \left\{ (x_1,x_2,x_3)\in \mathbb R ^3 : 0\leq x_1\leq 1, x_1 \leq x_2 \leq 2x_1, (x_1+x_2)\leq x_3 \leq 2(x_1+x_2)\right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hätte jetzt daraus die Integrationsgrenzen gebildet: $\begin{eqnarray} 0\leq x_1\leq 1, 0\leq x_1\leq 2, 0\leq x_3 \leq 6 \end{eqnarray}$ Sind diese richtig? Willkommen im Matheboard! Ich habe ein paar LaTeX-Tags eingefügt. Viele Grüße Steffen
19.07.2019, 16:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein: Es wird nicht bei allen in Frage kommenden $\begin{eqnarray} x_1,x_2 \end{eqnarray}$ immer über $\begin{eqnarray} 0\leq x_3\leq 6 \end{eqnarray}$ integriert, sondern wie angegeben nur über $\begin{eqnarray} (x_1+x_2)\leq x_3\leq 2(x_1+x_2) \end{eqnarray}$ !!! Versuch doch nicht schlauer zu sein als diese Angabe, sondern werte schön geduldig das Integral von innen nach außen schrittweise aus: Es ist durchaus erlaubt, dass die Integrationsgrenzen der innen liegenden Integrale von weiter außen liegenden Integrationsvariablen abhängen. Das bedeutet letztlich nur, dass dein dreidimensionales Integrationsgebiet kein einfacher Quader ist, sondern ein komplizierteres Gebilde (in deinem Fall nun aber auch nicht so kompliziert, es ist der Linearität wegen auf jeden Fall ein Polyeder, aber eben mit ein paar "schrägen" Randflächen bezogen auf die durch die Koordinatenachsen induzierten Ebenen).

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