Konvergenzarten

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Max354 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzarten
Hallo,
ich vertehe nicht ganz den Unterschied zwischen fast sicherer Konvergenz und Konvergenz in Wahrscheinlichkeit.
Konvergenz in Wkt wäre:
Fast sichere Konvergenz:

Bei der Konvergenz in Wkt gilt die Aussage abhängig von n und bei der fast sicheren Kovergenz ist das Ergebnis unabhängig von n?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus fast sicherer Konvergenz folgt die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, aber nicht umgekehrt:

Für letzteres schaut man sich am besten das übliche Gegenbeispiel dafür an.
Max354 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Aus fast sicherer Konvergenz folgt die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, aber nicht umgekehrt:


Den Beweis dafür habe ich mir schon angesehen. Es geht mir um die Definitionen. Wo liegt genau der Unterschied. Ich denke, dass es um die Stellung des limes geht. Ist das der Knackpunkt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, was sonst.
Max354 Auf diesen Beitrag antworten »

D.h dann bei der Konvergenz in Wkt gilt die Aussage abhängig von n, bei der anderen Art eben unabhängig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso "abhängig von " ? Für jedes gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass sich die Trajektorien an dieser Zeitstelle innerhalb eines -Bandes um bewegen. Konvergenz in Wahrscheinlichkeit heißt dann, dass diese Wahrscheinlichkeit für verschwindet. Es interessiert bei dieser Betrachtung nicht, welche Traktorien konkret da jeweils "ausscheren", solange es nur wenig genug sind, für "verschwindend" wenige.

Ganz anders bei der fast sicheren Konvergenz: Dort werden tatsächlich die Einzeltrajektorien betrachten, also für festes , und man fordert nun, dass fast alle diese Einzeltrajektorien konvergieren, d.h., die Ausnahmemenge darf nur Wahrscheinlichkeit Null haben. Bei dem genannten Gegenbeispiel ist das nicht der Fall, da hat man zwar "überwiegend" vorliegen, aber in jedem Indexintervall genau ein , welches ausschert gemäß , was die Konvergenz der Trajektorie verhindert, und das für wirklich JEDES .
 
 
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