Varianz des Mittelwertes

24.07.2019, 13:04	lena5988	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz des Mittelwertes Aufgabe: $\begin{eqnarray} X_{1},...,X_{n} \end{eqnarray}$ Zufallsvariablen (nicht unabhängig), jeweils mit Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^{2} \end{eqnarray}$ . Wie lautet die Varianz des Mittelwertes $\begin{eqnarray} \overline{X_{n}} \end{eqnarray}$ dieser n Zufallsvariablen? Für unabhängige ZV würde ja gelten: $\begin{eqnarray} \sqrt{Var(\overline{X_{n}})} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ Was jedoch für nicht unabhängige ZV?
24.07.2019, 13:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne genauere Quantifizierung der bestehenden Abhängigkeit lässt sich so gut wie gar nichts über diese Varianz sagen - zwei Extremfälle: 1) $\begin{eqnarray} X_1=\ldots=X_n \end{eqnarray}$ : Hier ist $\begin{eqnarray} \bar{X}_n = X_1 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}(\bar{X}_n) = \sigma^2 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gerade und $\begin{eqnarray} X_{n-k+1} = 2\mu - X_k \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k=1,\ldots,\frac{n}{2} \end{eqnarray}$ : Hier ist $\begin{eqnarray} \bar{X}_n = \mu \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}(\bar{X}_n) = 0 \end{eqnarray}$ . Zwischen diesen beiden Polen bewegen sich die mögliche Varianzwerte! Der von dir genannte Wert $\begin{eqnarray} \frac{\sigma^2}{n} \end{eqnarray}$ für den Unabhängigkeitsfall bewegt sich natürlich auch in diesem Rahmen.
24.07.2019, 13:34	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz des Mittelwertes Es stehe $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ für die Varianz und $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ für die Kovarianz. Es sei $\begin{eqnarray} Y=\sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray}$ die Summe der $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Zufallsvariablen und $\begin{eqnarray} Z = \frac 1 n Y \end{eqnarray}$ deren Mittelwert. Dann hat man zunächst $\begin{eqnarray} V(Z)= \frac 1 {n^2} V(Y) \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} V(Y)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n C(X_i,X_j)=\sum_{i=1}^n V(X_i)+\sum_{i\neq j}C(X_i,X_j)=\sum_{i=1}^n V(X_i)+2\sum_{i < j}C(X_i,X_j) \end{eqnarray}$
24.07.2019, 15:48	lena5988	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Super, vielen Dank!!
24.07.2019, 16:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung von Huggy kann man auch noch fortschreiben in eine Darstellung abhängig von den Korrelationskoeffizienten $\begin{eqnarray} \varrho_{i,j} \end{eqnarray}$ der Komponenten $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_j \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} V(Z) = \frac{\sigma^2}{n^2}\left( n + 2\sum_{1\leq i<j\leq n} \varrho_{i,j}\right) \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} \varrho_{i,j}=0 \end{eqnarray}$ der Unabhängigkeitsfall, während $\begin{eqnarray} \varrho_{i,j}=1 \end{eqnarray}$ das obige Beispiel 1) ist, beides für alle $\begin{eqnarray} i\neq j \end{eqnarray}$ .

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