Gleichheit von Integralen

01.08.2019, 09:37

NiklasMaß3

Gleichheit von Integralen

Hallo,
Ich betrachte die Abbildung $\begin{eqnarray*} g: X \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} f=g \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -fast überall, dann gilt: $\begin{eqnarray*} \int_X g d\mu = \int_X f d\mu \end{eqnarray*}$
Beweis. Nach Voraussetzung gilt $\begin{eqnarray*} \mu(S)=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} S=\{f \ne g\} \end{eqnarray*}$

Definiere $\begin{eqnarray*} h: X \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h(x)=f(x)=g(x) \ \forall x \in X \setminus S \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} h(x)=0 \forall x \in S \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} f_1:= f \chi_s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_1= g \chi_s \end{eqnarray*}$
Dann sind die Integrale über diese Funkktionen 0. Wegen $\begin{eqnarray*} f=h+f_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g=h+g_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} supp|h| \cap supp|f_1| = \emptyset= supp|h| \cap supp|g_1| \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \int_X |f| d \mu = \int_X |h| d \mu + \int_X |f_1| d \mu \end{eqnarray*}$

Warum muss diese Trägereigenschaft gelten, damit ich die Summe der Integrale so bilden darf?

01.08.2019, 11:51

HAL 9000

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Für die Integralgleichheit wird $\begin{eqnarray*} |f| = |h| + |f_1| \end{eqnarray*}$ benutzt, und das folgt aber nicht allein aus $\begin{eqnarray*} f= h+f_1 \end{eqnarray*}$ sondern auch daraus, dass es kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt für das zugleich $\begin{eqnarray*} h(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_1(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, und dies wiederum folgt aus der Trägerdisjunktheit.

D.h., ohne diese Trägerdisjunktheit kann man i.a. aus $\begin{eqnarray*} f=h+f_1 \end{eqnarray*}$ lediglich $\begin{eqnarray*} |f|\leq |h|+|f_1| \end{eqnarray*}$ gemäß Dreiecksungleichung folgern, aber nicht =.

P.S.: Irgendwie sieht mir der Beweis fast überkompliziert aus. Das mag aber dran liegen, dass der wohl auch unendliche Maße $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ gelten soll und man daher nicht so ohne weiteres die Äquivalenz

$\begin{eqnarray*} \int\limits_X g ~ \dd\mu = \int\limits_X f ~ \dd\mu\quad \Longleftrightarrow\quad \int\limits_X (g-f) ~ \dd\mu = 0 \end{eqnarray*}$

benutzen darf, welche einiges erleichtern würde.

01.08.2019, 12:13

NiklasMaß3

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Zitat:

Original von HAL 9000

D.h., ohne diese Trägerdisjunktheit kann man i.a. aus $\begin{eqnarray*} f=h+f_1 \end{eqnarray*}$ lediglich $\begin{eqnarray*} |f|\leq |h|+|f_1| \end{eqnarray*}$ gemäß Dreiecksungleichung folgern, aber nicht =.

Warum ist das so?. Das kann ich nicht einsehen. Wozu ist das $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ überhaupt zu gebrauchen. Es ist doch sowieso 0 überall.

01.08.2019, 12:19

HAL 9000

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Das siehst du nicht ein??? Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} h(0)=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_1(0)=-1 \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} f(0)=2+(-1)=1 \end{eqnarray*}$ , während $\begin{eqnarray*} |h(0)|+|f_1(0)|= 2+1 = 3 \end{eqnarray*}$ sich offensichtlich von $\begin{eqnarray*} |f(0)|=1 \end{eqnarray*}$ unterscheidet.

Zitat:

Original von NiklasMaß3
Wozu ist das $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ überhaupt zu gebrauchen. Es ist doch sowieso 0 überall.

Auf $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ stimmt das nicht. unglücklich

01.08.2019, 12:49

NiklasMaß3

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Danke ich habe es jetzt eingesehen. Auf S ist doch $\begin{eqnarray*} h(x)=f(x)=0 \end{eqnarray*}$ ?

01.08.2019, 14:06

HAL 9000

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Nein, nur $\begin{eqnarray*} h(x)=0 \end{eqnarray*}$ gilt dort, d.h. dann $\begin{eqnarray*} f(x)=f_1(x) \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} x\in X\setminus S \end{eqnarray*}$ gilt hingegen $\begin{eqnarray*} f_1(x)=0 \end{eqnarray*}$ , und damit dort $\begin{eqnarray*} f(x)=h(x) \end{eqnarray*}$ . So lautet nun mal die Konstruktion dieser Hilfsfunktionen $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ .

01.08.2019, 14:26

NiklasMaß3

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RE: Gleichheit von Integralen
Jetzt verstehe ich diese Bildung.

Zitat:

Original von NiklasMaß3
und $\begin{eqnarray*} g=h+g_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} supp|h| \cap supp|f_1| = \emptyset= supp|h| \cap supp|g_1| \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \int_X |f| d \mu = \int_X |h| d \mu + \int_X |f_1| d \mu \end{eqnarray*}$

Was hat mir das aber gebracht das Integral so zu schreiben?

01.08.2019, 14:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von NiklasMaß3
Was hat mir das aber gebracht das Integral so zu schreiben?

Woher soll ich das wissen: Ich bin weder Autor des Beweises noch kenne ich dessen Fortgang - zumindest bei letzterem bist du mir im Vorteil.

01.08.2019, 14:36

NiklasMaß3

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Dann wird gesagt: f ist integrierbar, gdw h, gdw g integierbar ist. Damit:
$\begin{eqnarray*} \int_X d \mu= \int_X h + f_1 d\mu= \int h d\mu + \int_X f_1 d \mu= \int_X h d \mu = \int_X h d\mu+ \int_X g_1 d \mu= \int_X h+g_1 d\mu = \int_X g d\mu \end{eqnarray*}$

01.08.2019, 14:48

HAL 9000

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Naja, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist bei vorausgesetzter Messbarkeit genau dann integrierbar, wenn $\begin{eqnarray*} \int\limits_X |f| ~ \dd\mu < \infty \end{eqnarray*}$ gilt. Wegen $\begin{eqnarray*} \int\limits_X |f_1| ~ \dd\mu = \int\limits_S |f_1| ~ \dd\mu = 0 \end{eqnarray*}$ bedeutet nun deine Integral-Betragsgleichung, dass $\begin{eqnarray*} \int\limits_X |f| ~ \dd\mu < \infty \end{eqnarray*}$ äquivalent ist zu $\begin{eqnarray*} \int\limits_X |h| ~ \dd\mu < \infty \end{eqnarray*}$ , und dies wiederum (mit Betrachtung von $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ ) auch wieder äquivalent ist zu $\begin{eqnarray*} \int\limits_X |g| ~ \dd\mu < \infty \end{eqnarray*}$ . Daraus erst ergibt sich die Aussage

Zitat:

Original von NiklasMaß3
f ist integrierbar, gdw h, gdw g integierbar ist.

Bei nun vorausgesetzter Integrierbarkeit darf man dann die Eigenschaften "Integral über Summe = Summe der Integrale" anwenden, was man nämlich ohne Integrierbarkeit nicht darf!

01.08.2019, 15:17

NiklasMaß3

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RE: Gleichheit von Integralen
Aso. Ich bekomme dann über
$\begin{eqnarray*} \int_X |f| d \mu = \int_X |h| d \mu + \int_X |f_1| d \mu \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \int_X |g| d \mu = \int_X |h| d \mu + \int_X |g_1| d \mu \end{eqnarray*}$
eine Beziehung zwischen den Integralen über f und g, da das Integral über $\begin{eqnarray*} \int_X |f_1 d\mu=0| \end{eqnarray*}$ ist.
Ich bin noch nicht ganz sicher warum das Integral 0 ist.

$\begin{eqnarray*} \int_X |f_1 d\mu=\int_S |f| d\mu = ? | \end{eqnarray*}$

Hilft da eine Approximation über Treppenfunktionen?

01.08.2019, 15:38

HAL 9000

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Herrje, wir kommen ja vom hundertsten ins tausendste, wenn das mit dem Hinterfragen auch der einfachsten Dinge hier so weitergeht ... Aber bitte:

Aus Monotoniegründen sollte $\begin{eqnarray*} 0\leq \int\limits_X |f_1| ~ \dd \mu \leq \int\limits_X \infty\cdot 1_S ~ \dd \mu \end{eqnarray*}$ klar sein. Und letzteres kann per Definition über monoton wachsende und gegen diesen Integranden konvergente Treppenfunktionen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \int\limits_X n\cdot 1_S ~ \dd \mu = \lim_{n\to\infty} n\mu(S) = 0 \end{eqnarray*}$

bestimmt werden. Salopp könnte man sagen (tut es aber besser nicht): In der Maßtheorie gilt $\begin{eqnarray*} \infty\cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. eine Aussage, für die man ansonsten in der Analysis zu Recht Prügel bezieht. Augenzwinkern

01.08.2019, 16:16

NiklasMaß3

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Ich danke dir. Du hast also, um den Limes und das Integral zu vertauschen, Beppo Levi angewandt. smile

Danke dann habe ich alles verstanden Freude

01.08.2019, 17:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von NiklasMaß3
Du hast also, um den Limes und das Integral zu vertauschen, Beppo Levi angewandt.

Was du da wieder reininterpretierst... ich wiederhole nochmal: Ich habe einfach nur die Definition des Lebesgue-Integrals für beliebige nichtnegative messbare numerische Funktionen angewandt

https://de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-I...iver_Funktionen

und habe dazu hier die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n = n\cdot 1_S \end{eqnarray*}$ gewählt.

01.08.2019, 20:35

NiklasMaß3

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Ok stimmt. Aber könnte man es nicht theoretisch als Anwendung von Satz von Beppo Levi sehen?

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