Grenzwert von (x^r+1)^(1/r)-x |
22.08.2019, 16:20 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Grenzwert von (x^r+1)^(1/r)-x Für welche ist ? Bei mit , lässt sich der Grenzwert leicht bestimmen. Für kann man mit einschnüren. Wie man die Ungleichung angehen soll, weiß ich aber auch nicht. Sonst fällt mir nichts ein. |
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23.08.2019, 10:16 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Grenzwert von (x^r+1)^(1/r)-x Lässt sich das nicht einfach mit l`Hospital klären? Bei hat man . Bleiben also die Fälle und . Mit den Substitutionen geht über in Setzt man noch geht über in und zu betrachten ist der Grenzwert für Das ist mit l`Hospital kein Problem. |
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23.08.2019, 20:43 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, super! Ich hab mir da noch was überlegt. Setzt man , dann gilt Der Flächeninhalt kann dabei durch das Rechteck mit Höhe Supremum abgeschätzt werden, d.h. Hat man nun , dann konvergiert auch das Supremum gegen null für , denn wird irgendwann in jede Epsilon-Umgebung von null eintauchen und diese nicht mehr verlassen. Vom Supremum eingeschnürt muss daher auch das Integral gegen null konvergieren, das ergibt Für ist . Mit ergibt sich . Für kann keine Aussage getroffen werden. |
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23.08.2019, 21:20 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
l`Hospital ergibt da den Grenzwert . |
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23.08.2019, 21:56 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aufbauend auf der Idee mit dem Integral, kaum der Rede wert: Wenn es eine Konstante gibt, so dass für alle , dann muss für über alle Grenzen wachsen, und damit auch das Integral. Für ist , die Bedingung wird zu Die Potenzfunktion wächst streng monoton steigend und unbeschränkt, wenn nur ist. Mit ergibt das , was nach Voraussetzung erfüllt ist. |
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