Grenzwert von (x^r+1)^(1/r)-x

22.08.2019, 16:20

Finn_

Grenzwert von (x^r+1)^(1/r)-x

Sei $\begin{eqnarray*} f_r(x):=(x^r+1)^{1/r}-x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,r\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ .

Für welche $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} f_r(x)=0 \end{eqnarray*}$ ?

Bei $\begin{eqnarray*} f_k(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k\ge 2 \end{eqnarray*}$ lässt sich der Grenzwert leicht bestimmen. Für $\begin{eqnarray*} k\le r\le k+1 \end{eqnarray*}$ kann man mit $\begin{eqnarray*} f_k(x)\ge f_r(x)\ge f_{k+1}(x) \end{eqnarray*}$ einschnüren. Wie man die Ungleichung angehen soll, weiß ich aber auch nicht.

Sonst fällt mir nichts ein.

23.08.2019, 10:16

Huggy

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RE: Grenzwert von (x^r+1)^(1/r)-x
Lässt sich das nicht einfach mit l`Hospital klären?

Bei $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ hat man $\begin{eqnarray*} f_r(x)=1 \end{eqnarray*}$ . Bleiben also die Fälle $\begin{eqnarray*} 0<r<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r>1 \end{eqnarray*}$ . Mit den Substitutionen

$\begin{eqnarray*} x=y^\frac 1 r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r= \frac 1 s \end{eqnarray*}$

geht $\begin{eqnarray*} f_r(x) \end{eqnarray*}$ über in

$\begin{eqnarray*} g_s(y)=(1+y)^s-y^s=\frac {(1+\frac 1 y)^s-1}{(\frac 1 y)^s} \end{eqnarray*}$

Setzt man noch

$\begin{eqnarray*} z=\frac 1 y \end{eqnarray*}$

geht $\begin{eqnarray*} g_s(y) \end{eqnarray*}$ über in

$\begin{eqnarray*} h_s(z)=\frac {(1+z)^s-1}{z^s} \end{eqnarray*}$

und zu betrachten ist der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} z \to 0 \end{eqnarray*}$ Das ist mit l`Hospital kein Problem.

23.08.2019, 20:43

Finn_

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Ah, super!

Ich hab mir da noch was überlegt. Setzt man $\begin{eqnarray*} F(y):=y^s \end{eqnarray*}$ , dann gilt
$\begin{eqnarray*} (y+1)^s-y^s = \int_{y}^{y+1} F'(t)\,\mathrm dt. \end{eqnarray*}$
Der Flächeninhalt kann dabei durch das Rechteck mit Höhe Supremum abgeschätzt werden, d.h.
$\begin{eqnarray*} \Bigg|\int_{y}^{y+1} F'(t)\,\mathrm dt\Bigg|\le \sup_{t\in[y,y+1]} |F'(t)|. \end{eqnarray*}$
Hat man nun $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} F'(t)=0 \end{eqnarray*}$ , dann konvergiert auch das Supremum gegen null für $\begin{eqnarray*} y\to\infty \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} F' \end{eqnarray*}$ wird irgendwann in jede Epsilon-Umgebung von null eintauchen und diese nicht mehr verlassen. Vom Supremum eingeschnürt muss daher auch das Integral gegen null konvergieren, das ergibt
$\begin{eqnarray*} \lim_{y\to\infty} F(y+1)-F(y)=0. \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} r>1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} s<1 \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} F'(t)=st^{s-1} \end{eqnarray*}$ ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} F'(t)=0 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} 0<r<1 \end{eqnarray*}$ kann keine Aussage getroffen werden.

23.08.2019, 21:20

Huggy

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Zitat:

Original von Finn_
Für $\begin{eqnarray*} 0<r<1 \end{eqnarray*}$ kann keine Aussage getroffen werden.

l`Hospital ergibt da den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

23.08.2019, 21:56

Finn_

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Aufbauend auf der Idee mit dem Integral, kaum der Rede wert: Wenn es eine Konstante $\begin{eqnarray*} K>0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} F'(t)>K \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t>t_0 \end{eqnarray*}$ , dann muss $\begin{eqnarray*} \inf_{t\in[y,y+1]} F(t) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y\to\infty \end{eqnarray*}$ über alle Grenzen wachsen, und damit auch das Integral.

Für $\begin{eqnarray*} 0<r<1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} s>1 \end{eqnarray*}$ , die Bedingung wird zu
$\begin{eqnarray*} F'(t)=st^{s-1}>K\iff t^{s-1}>\frac{K}{s}. \end{eqnarray*}$
Die Potenzfunktion $\begin{eqnarray*} t\mapsto t^a \end{eqnarray*}$ wächst streng monoton steigend und unbeschränkt, wenn nur $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ ist. Mit $\begin{eqnarray*} a:=s-1 \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} s>1 \end{eqnarray*}$ , was nach Voraussetzung erfüllt ist.

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