Vektorfeld durch Basisvektoren in Kugelkoordinaten darstellen

22.08.2019, 22:44	reptilz	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorfeld durch Basisvektoren in Kugelkoordinaten darstellen Hi, ich habe ein Vektorfeld der Form c(-y,x,0), Das soll nun mithilfe Basisvektoren in Kugelkoordinaten dargestellt werden. Es folgt csqrt(y^2+x^2)e_phi Wieso ist das so? mir ist bewusst das man den radius über den Betrag des Vektors berechnen kann aber wieso e_phi und zb nicht e_theta? Wie kommt man darauf? Ist es eventuell daher so, da die dritte Komponente 0 ist vom Vektorfeld? Die dritte komponente eines Punktes in Kugelkoordinaten ist (r,theta,phi) deshalb eventuell e_phi? Das ist geraten und ich würde das gerne verstehen wann man welchen Basisvektor verwendet und wie es ist wenn man z.b. Zylinder in Karteische Koordinaten überführt. Wie man da dann den Basisvektor wählt. Also allgemein gesagt,würde ich das allgemein anwenden können.
22.08.2019, 22:46	replitz	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wieso kann ich einfach r über de Betrag bestimmen? Ich habe ja ein Vektorfeld gegeben und kein Vektor!!
23.08.2019, 11:20	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld durch Basisvektoren in Kugelkoordinaten darstellen Sei $\begin{eqnarray} \vec f=(-y,x,0)=-y \vec e_x+x\vec e_y \end{eqnarray}$ Das Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec f \end{eqnarray}$ ist unabhängig von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ und seine Vektoren sind überall parallel zur $\begin{eqnarray} x-y \end{eqnarray}$ -Ebene. Man kann daher die Umrechnung für einen beliebigen Wert von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ vornehmen, z. B. für $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ . Dort sind die Kugelkoordinaten identisch zu Polarkoordinaten. Bei Polarkoordinaten hat man $\begin{eqnarray} x=\rho \cos \varphi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\rho \sin \varphi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec e_x=\vec e_\rho \cos \varphi-\vec e_\varphi \sin \varphi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec e_y=\vec e_\rho \sin \varphi+\vec e_\varphi \cos \varphi \end{eqnarray}$ Setzt man das in $\begin{eqnarray} \vec f \end{eqnarray}$ ein bekommt man $\begin{eqnarray} \vec f=\rho \vec e_\varphi \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} \rho =\sqrt {x^2+y^2} \end{eqnarray}$ ergibt sich die angegebene Lösung.

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